Auf Konvergenz überprüfen?

Aber wie?

$\sum_{k=5}^∞\frac{1}{k^2}$

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Der Beweis ist genauso, als ob man bei k = 1 beginnen würde. Dadurch das man bei k = 5 beginnt, fehlen vier Summanden und die Reihe wird dadurch nur kleiner.

Die Beweisidee ist es, immer eine bestimmte Anzahl von Summanden zusammenzufassen, die dann durch die geometrische Reihe nach oben abgeschätzt werden können.

Und zwar fasst man immer doppelt so viele Summanden zusammen, also den ersten, dann die nächsten beiden, dann die nächsten vier, dann die nächsten acht, usw.

$\frac{1}{1} + \underset{\leq \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}{\underbrace{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}}} + \underset{\leq \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}}{\underbrace{\frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + \frac{1}{49}}} + \dots \\ \leq 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{16} =1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$

Allgemein ausgedrückt:

$\underset{2^n \text{ Summanden}}{\underbrace{\frac{1}{\left(2^n\right)^2} + \dots + \frac{1}{\left(2^{n+1}-1\right)^2}}} \leq 2^n \cdot\frac{1}{\left(2^n\right)^2} = \frac{1}{2^n}$

Man hat zwar immer doppelt so viele Summanden, aber der Wert eines einzelnen Summanden viertelt sich, sodass man insgesamt auf die geometrische Reihe kommt, welche bekanntlich gegen 2 konvergiert, da man mit jedem weiteren Summanden nur den Abstand zu 2 halbiert.

Answer 2

[EdCent]

Hallo,

wenn die Summe bei k=1 beginnt, kommt ⅙π² heraus.

Davon muss 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² = 205/144 subtrahiert werden.

⅙π² - 205/144 ≈ 0,221323

🤓

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Unterricht am Gymnasium

Answer 3

[Fabian21723]

Du musst überlegen, wie sich der Term entwickelt. Du addierst ja immer 1/25 + 1 / 36 + 1 / 49 + ... . Nachdem 1 / 25 ja schon 0.04 ist und 1 / 36 0.028 ist, also nochmal kleiner, werden die Werte danach noch kleiner, also fast 0. Und wenn man einen Wert der fast Null ist mit anderen Werten addiert, die fast 0 sind, wird das Ergebnis dementsprechend nahe Null sein. Es konvergiert also gegen 0.

Comments

[verreisterNutzer]

Hmm, meine Lösungen und ChatGPT sagen es konvergiert gegen 1/16

[Fabian21723]

@verreisterNutzer

Ob man es tatsächlich so genau berechnen kann, kann ich leider nicht genau sagen, aber der Wert 1/16 ist ja bereits sehr nah an dem Wert 0

[EdCent]

Deine Antwort ist falsch.

Bei der Summe 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... werden die Summanden auch immer kleiner, aber die Summe geht gegen unendlich.