Wo liegt hier der Fehler?

Bei aufgabe b

Answer 1

[mihisu]

Es wurde anscheinend versucht die Potenzregel...

$f(x)=x^{n}\quad \rightarrow\quad f'(x)=n\cdot x^{n-1}$

... anzuwenden.

ABER: Bei dieser Potenzregel steht die Variable x in der Basis der Potenz. Bei 5^x hingegen steht die Variable x nicht in der Basis der Potenz, sondern im Exponenten der Potenz. Daher ist die Potenzregel hier nicht anwendbar.

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Stattdessen kann man die Regel...

$f(x)=\text{e}^{x}\quad \rightarrow\quad f'(x)=\text{e}^x$

... für die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion in Kombination mit der Kettenregel verwenden, nachdem man den Funktionsterm etwas umgeformt hat.

$f(x)=5^x=\left(\text{e}^{\ln(5)}\right)^x=\text{e}^{\ln(5)\cdot x}$

$\rightarrow\quad f'(x)=\text{e}^{\ln(5)\cdot x}\cdot \ln(5)=5^{x}\cdot \ln(5)$

Answer 2

[SeifenkistenBOB]

Die Ableitungsregeln für Polynome können nicht einfach auf Exponentialfunktionen übertragen werden.

Exponentialfunktionen leitet man am einfachsten ab, indem man sie in eine e-Funktion umschreibt und dann die Kettenregel verwendet.

$5^x=\left(e^{\ln\left(5\right)}\right)^x=e^{x\cdot\ln\left(5\right)}=\exp\left(x\cdot\ln\left(5\right)\right)$

Nun lässt sich leicht erkennen, was die innere und die äußere Funktion ist.

Die Ableitung der inneren Funktion g(x) = x*ln(5) ist g'(x) = ln(5).

Die Ableitung der äußeren Funktion f(x) = exp(x) bleibt beim Ableiten die e-Funktion und behält ihr Argument.

Answer 3

[JanaL161]

Es wäre

$5^x \cdot \ln 5$ , da die Variable im Exponenten steht, nicht die Basis ist.

https://matheguru.com/differentialrechnung/ableitung-einer-exponentialfunktion.html