Wie ist es möglich, dass eine Funktion ein Wendepunkt besitzt, wenn bei der HB f"'(x)=0 raus kommt?
Rein vom graphischem verständniss her, ist das Sinnlos, da das bedeuten müsse, dass der Graph der 3. Ableitung konstant auf der x-Achse verläuft. Die Abbildung soll mein Problem verdeutlichen
3 Antworten
Wenn du eine Polynomfunktion 3. Grades hast, dann ist die dritte Ableitung zwar konstant, aber sie ist nicht konstant 0. Du kannst das rückwärts rechnen:
Angenommen, f'''(x) = a.
Dann ist f''(x) = ax + b, f'(x) = 1/2 ax² + bx, f(x) = 1/6 ax³ + 1/2 bx² + c
Das ist nur dann eine Polynomfunktion 3. Grades, wenn a nicht gleich Null ist.
Und so ist das ja auch in deinen Zeichnungen:
f(x) = x³
f'(x) = 3x²
f''(x) = 6x
f'''(x) = 6
D. h. du hast an der Stelle 0
f(0) = f'(0) = f''(0) = 0, aber f'''(0) = 6.
Konstant 0 kann die 3. Ableitung einer Polynomfunktion nur dann sein, wenn die Funktion maximal quadratisch ist. An der Stelle x kann der Funktionswert natürlich auch mal 0 sein, aber dann ist das keine konstante Funktion.
Das die 3. Ableitung ungleich 0 ist, ist nur eine Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt, keine notwendige. Somit kann die Dritte Ableitung 0 sein.
Ein simples Beispiel ist die Funktion x^5:
f(x) = x^5
f'(x)=5x^4
f''(x)=20x^3
f'''(x)=60x^2
Die dritte Ableitung ist an x=0 gleich 0, jedoch ist dort trotzdem ein Wendepunkt, da die Zweite Ableitung an der Stelle 0 das Vorzeichen wechselt (das ist eine Hinreichende und Notwendige Bedingung, wenn die Funktion differenzierbar ist)
Moment, Denkfehler.
Wo ist das Problem? Zweite Ableitung ist 0, dritte ungleich 0.
Wieso sollte sie denn 0 sein? Die zweite Ableitung hat doch eine durchgehend positive Steigung. Die hinreichende Bedingung ist übrigens auch f“‘(x) ungleich 0, nicht gleich 0.
Genau, und wie ist es möglich, dass die dritte ableitung ungleich Null ist?