Leitet man Exponenten und den Inhalt einer Klammer gleich ab?
Hallo,
ist die Ableitung von 2^2x
2*2^2,
2*2^2x,
2x*2^2
oder 2x*2^2x
Denn die Ableitung von e^2x ist
2*e^2x.
Auch frage ich mich, ob ich die Potenz einer Funktion in puncto Ableiten als in einer Klammer stehend verstehen darf?
Und wenn ja, nur wenn e im Spiel ist oder auch ohne e?
Dort geschieht nämlich das gleiche wie oben:
f(x)=2(3+4x)^2
f‘(x)=4(3+4x)*4
Der Exponent (hier in der Klammer) wird abgeleitet und mit der Potenz (hier der allgemeinen Ableitung von f‘(x)) multipliziert.
3 Antworten
Das Ableiten von Exponentialfunktionen ist etwas "komplexer"...
Die Ableitung von 2^(2x) ist 2*ln(2)*2^(2x)=ln(2)*2^(2x+1).
Dazu formt man 2^(2x) erst einmal um zu e^ln(2^(2x))=e^(2x*ln(2)) und leitet das dann unter Beachtung der Kettenregel ab.
Bzgl. der zweiten Frage erst einmal die richtigen Begriffe: das "Konstrukt" a^b ist eine Potenz, mit Basis a und Exponent b, d. h., was bei Dir beim Funktionsterm von f in Klammern steht ist die Basis. Hier kommen die Potenz- und Kettenregel zum Einsatz: die Potenz wird "ganz normal" abgeleitet (Exponent als Faktor nach vorne um Exponent selbst um 1 reduzieren) mal der inneren Ableitung, also der Ableitung der Basis.
2^(2x) = e^ln(2^(2x)) = e^(2x*ln(2))
Und jetzt wie gewohnt die e -Funktion ableiten
.....
f(x)=2(3+4x)^2
f‘(x)=2*2*(3+4x)*(3+4x)' =
2*2*(3+4x)*4
Die Ableitung ist immer ln(Basis)*AbleitungDesExponenten*dieAlteFunktion.
Also bei 2^(2x) wäre f'(x)=ln(2)*2*2^(2x) .
Beim Beispiel von 2*e^(2x) wäre dann f'(x)=2*ln(e)*2*e^(2x) = 4*e^(2x)