Warum gilt dieser Zusammenhang?

Hallo liebe Mathe-Experten,

wir beschäftigen uns im Unterricht derzeit mit der Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionen. Dabei haben wir diese Formel lernen müssen:

Warum ich eine Fläche mit dem Teil vor dem Gleicheitszeichen berechnen kann, verstehe ich, da ich ja zunächst die größere Fläche ausrechne, und anschließend die kleinere Fläche davon abziehe.

Doch warun kann ich auch erst die Ausgangsfunktionen subtrahieren, und erst dann das Ergebnis integrieren?

Ich habe das Ganze mal mit mehreren Funktionen ausprobiert und es kommt immer das gleiche Ergebnis heraus.

Uns wurde die Formel leider nicht erklärt, deswegen würde ich mich freuen, wenn mir jemand den Zusammenhang erklären könnte ;)

LG

Answer 1

[evtldocha]

Summenformel und Faktorregel für Integrale. Die wendest Du bei jeder Polynomfunktion an, wenn Du jeden Term einzeln integrierst:

Summenformel - es gilt: Sei f(x) =g(x) + h(x), dann $\int f\left(x\right)\ dx\ =\ \int\left(g\left(x\right)+h\left(x\right)\right)\ dx\ =\ \int g\left(x\right)\ dx\ +\ \int h\left(x\right)\ dx\ \$

Faktorregel - es gilt: Sei f(x) =a·g(x), dann $\int f\left(x\right)dx=\int a\cdot g\left(x\right)dx=a\cdot\int g\left(x\right)dx$

(und mit a = -1) hast Du das mit der Differenz)

Comments

[Falage]

Ich danke dir! Es gibt nicht zufällig noch eine Herleitung für die Summenformel ;)?

[evtldocha]

@Falage

Ja, solltet ihr im Unterricht aber gemacht haben und den Beweis kannst Du mit der h-Methode auch selbst leicht durchführen. Allerdings läuft das darauf hinaus, dass Du die Antwort von Littlethought akzeptierst oder wieder nachfragst: Warum ist der Grenzwert der Summe gleich der Summe der Grenzwerte? Insofern ist Mathematik auch eine Frage der Akzeptanz bisheriger Ergebnisse ohne weitere "Warum"-Fragen.

[evtldocha]

@evtldocha

Vergiss den zweiten Teil nach dem "und den Beweis ..." des ersten Satzes meines Kommentars oben, da habe ich kurz eine geistige Schleife gedreht ...

[Falage]

@evtldocha

Leider haben wir die h-Methode nur im Bezug auf die Ableitung kennengelernt…

(Auch nicht im Bezug auf die Summenregel bei der Ableitung)

Ich kann zwar nicht von mir behaupten dauerhaft aufmerksam zu sein, aber das hätte ich sicher mitbekommen.

Answer 2

[Zetsu286]

Das liegt an der Linearität des Integrals, da das Integral eine Summe ist, die man unter Konvergenzbedingungen umsortieren kann.

Woher ich das weiß: Hobby – Gymnasium 11. Klasse