Stimmt das?

Begründe mit Hilfe eines geeigneten Dreiecks, wieso der Funktionwert von sin(45) =cos(45)= (1/2) mal die Wurzel von 2 ist

also ich weiß das wes um einen rechtwinkligen Dreieck handelt. Aber wie erkläre ich die (1/2) mal die Wurzel von 2?

funktioniert diese Erklärung?

Answer 1

[Rammstein53]

Bei der Begründung von ChatGPT fehlt mir ein Hinweis, warum die beiden Katheden gleich lang sind. Ich würde es so formulieren:

Angenommen in einem rechtwinkligen Dreieck gibt es einen weiteren Winkel mit 45°, dann ist auch der dritte Winkel 45°, denn die Winkelsumme im Dreieck beträgt:

90°+45°+45° = 180°

Aus den beiden identischen Winkeln folgt ein gleichschenkliges Dreieck mit den beiden Katheten a und der Hypotenuse b. Hier gilt die Beziehung

(i) a² + a² = b²

und

(ii) b*cos(45°) = b*sin(45°) = a

Liegt das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis, gilt b = 1 und aus (i) folgt 2a² = 1 --> a = √(1/2)

Aus (ii) folgt:

1*cos(45°) = 1*sin(45°) = a = √(1/2) = 1/√2

Answer 2

[nobytree2]

Nimm einfach Pythagoras, die Hypotenuse habe die Länge 1 und die am rechten Winkel liegenden Seiten sind Sinus und Cosinus entsprechend ihrer Definition. Dann gilt

$\sin^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=1^2=1$

Bei 45° und einem rechten Winkel ist auch der andere Winkel 45°. Damit gilt sin(45°) = cos(45°) bzw. sin²(45°) = cos²(45°) und wir schreiben

$\sin^2\left(45°\right)+\cos^2\left(45°\right)=\sin^2\left(45°\right)+\sin^2\left(45°\right)=2\sin^2\left(45°\right)=1$ $\to\sin^2\left(45°\right)=\frac{1}{2}\to\sin\left(45°\right)=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ Da sin(45°) = cos(45°) gilt das auch für cos(45°)

Answer 3

[EdCent]

Hallo,

betrachte ein Geodreieck.

Ein Winkel beträgt 90°. Wenn einer der beiden anderen Winkel 45° beträgt, muss der andere ebenfalls 45° betragen, da die Winkelsumme 180° beträgt.

Da zwei Winkel gleich sind, ist das Dreieck gleichschenklig, d.h. beide Katheten sind gleichlang.

Betrachte nun einen der beiden 45°-Winkel. Gegenkathete und Ankathete sind gleichlang. Also sind Sinus und Kosinus von 45° schon einmal gleich, nämlich a/c, wobei c die Hypotenuse ist.

Pythagoras:

a²+a²=c²

2a²=c² |•2 (Trick!)

4a²=2c² |:c² |:4

a²/c²=2/4 |Wurzel

a/c =√(2/4)=√2 / √4 =½•√2

🤓

PS:

Vergiss ChatXYZ. Selber denken hilft mehr. 😄

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Unterricht am Gymnasium

Answer 4

[Halbrecht]

Mit dem

durch kürzen von a . Das reicht
Denn a als Kathetenlänge ist gegeben , die Länge der Hyp mit Pyth gefunden