Ist in einem rechtwinkligen Dreieck ein Winkel festgelegt, so sind alle Seitenverhältnisse festgelegt?

Ich muss diese Aussage allgemein begründen .

Ich versteh schon was damit gemeint ist:

Iwie ist es ja so, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die 2 anderen Winkel abgesehen vom rechten Winkel ja immer zusammen 90° ergeben müssen und wenn man dann eben diese Seitenschenkel erweitert (wobei der rechte Winkel unverändert bleibt) dann müssen die ja immer noch 90° ergeben, so dass sich die Seitenverhältnisse ja nicht verändern können wenn da irgendwie auch a² + b² = c² bleiben soll und wenn der Quotient die ganze Zeit gleich bleiben soll.. Und sin cos und tan spielen da ja such mit rein, dass die Seitenverhältnisse gleich sind??

Aber wie begründe ich das genau? ich bin grad bissl beim begründen durcheinander und weiß nicht welche Gesetze da jtz wirklich gefragt sind :/

LG, Mayu

Answer 1

[HeniH]

Hi,

es muss so lauten wie bereits DerRoll geschrieben hat:

Ist in einem rechtwinkligen Dreieck ein Winkel neben dem rechten festgelegt, so sind alle Seitenverhältnisse festgelegt?

Sagen wir der eine Spitze Winkel wäre festgelegt (α), dann haben wir die eindeutigen Seitenverhältnisse:

Also sind damit alle Seitenverhältnisse festgelegt!

 

LG,

Heni

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Habe Mathematik studiert.

Answer 2

[hoermirzu]

Solange Du nichts veränderst, ändert sich auch an Deinem Dreieck nichts! - Wovon reden wir hier?

Answer 3

[holgerholger]

Wenn außer dem rechten Winkel noch ein weiterer Winkel festgelegt wird, ist der dritte leicht zu bestimmen: Die Winkelsumme im Dreieck ist immer 180Grad. Der gesuchte Winkel ist also 180 - 90 - festgelegter Winkel.

Answer 4

[DerRoll]

Dir könnte

https://www.kapiert.de/mathematik/klasse-9-10/geometrie/trigonometrische-berechnungen-1/mit-sinus-kosinus-tangens-im-rechtwinkligen-dreieck-rechnen/

helfen. Nebenbei ist die Frage missverständlich, denn ein Winkel in einem Rechtwinkligen Dreieck ist ja bereits mit 90° festgelegt. Korrekt müsste die Frage lauten

Ist in einem rechtwinkligen Dreieck ein Winkel neben dem rechten festgelegt, so sind alle Seitenverhältnisse festgelegt?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 5

[scatha]

Weder das Eine noch das Andere wird gebraucht, denn allein dadurch, dass alle Winkel festgelegt sind, stehen die Seitenverhältnisse bereits fest.

Der Satz des Pythagoras lenkt ab, weil er absolute Längen benutzt, und Sin/Cos/Tan würden nur insofern helfen, als sie bestätigen, dass Winkel die Seitenverhältnisse festlegen, dies würde aber die Beweisführung unnötig komplex machen.

Viel interessanter in diesem Zusammenhang sind die Kongruenzsätze und die Ähnlichkeitssätze.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzsatz

Der Satz "WWW" ist kein Kongruenzsatz, sondern ein Ähnlichkeitssatz, und der bezieht sich genau auf die obige Frage.

Stimmen zwei Dreiecke in zwei (und damit zugleich allen drei)  Innenwinkeln überein, so sind sie dennoch  nicht notwendigerweise kongruent. Sie sind jedoch  ähnlich

https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeitss%C3%A4tze

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und somit in drei)  Winkeln übereinstimmen. (W:W:W-Satz)