Stammfunktion?

Was ist die stammfunktion von x^2 * e^-x

Answer 1

[mihisu]

Eine Kleinigkeit vorweg: Es gibt nicht „die“ Stammfunktion. (Es gibt unendlich viele verschiedene Stammfunktionen, die sich additiv um eine Konstante unterscheiden.)

==========

Eine Stammfunktion zur Funktion

$f:\ \mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2\cdot \text{e}^{-x}$

ist durch

$F:\ \mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad F(x)=-\left(x^2+2x+2\right)\cdot \text{e}^{-x}$

gegeben.

Bzw. ist auch für jede Konstante C jeweils durch

$F:\ \mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=-\left(x^2+2x+2\right)\cdot \text{e}^{-x}+C$

eine Stammfunktion zur Funktion F gegeben.

============

Um auf diese Stammfunktionen zu kommen, kann man mit partieller Integration arbeiten...

$\int \underbrace{x^2}_{u(x)}\cdot \underbrace{\text{e}^{-x}}_{v'(x)}\,\text{d}x$

$=\overbrace{x^2}^{u(x)}\cdot \overbrace{\left(-\text{e}^{-x}\right)}^{v(x)}-\int \overbrace{2x}^{u'(x)}\cdot \overbrace{\left(-\text{e}^{-x}\right)}^{v(x)}\,\text{d}x$

$=-x^2\cdot \text{e}^{-x}+\int \underbrace{2x}_{u_2(x)}\cdot \underbrace{\text{e}^{-x}}_{v_2'(x)}\,\text{d}x$

$=-x^2\cdot \text{e}^{-x}+\overbrace{2x}^{u_2(x)}\cdot \overbrace{\left(-\text{e}^{-x}\right)}^{v_2(x)}-\int \overbrace{2}^{u_2'(x)}\cdot \overbrace{\left(-\text{e}^{-x}\right)}^{v_2(x)}\,\text{d}x$

$=-x^2\cdot \text{e}^{-x}-2x\cdot \text{e}^{-x}+2\cdot \int \text{e}^{-x}\,\text{d}x$

$=-x^2\cdot \text{e}^{-x}-2x\cdot \text{e}^{-x}+2\cdot \left(-\text{e}^{-x}\right)+\text{const.}$

$=-x^2\cdot \text{e}^{-x}-2x\cdot \text{e}^{-x}-2\cdot \text{e}^{-x}+\text{const.}$

$=\left(-x^2-2x-2\right)\cdot \text{e}^{-x}+\text{const.}$

$=-\left(x^2+2x+2\right)\cdot \text{e}^{-x}+\text{const.}$

Answer 2

[evtldocha]

Zweimalige partielle Integration liefert:

$F\left(x\right)=-\left(x^2+2x+2\right)\cdot e^{-x\ }+\ C$

Comments

[Goodqueston54]

Wie kommt man darauf?

[evtldocha]

@Goodqueston54

Was heißt die Nachfrage denn konkret - dass Du mit dem Begriff partieller Integration nichts anfangen kannst oder dass Du nur im konkreten Fall nicht weißt, was hier u(x) und v'(x) sein sollen?

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

benutze die partielle Integration.

So kommst Du zu F(x)=-e^(-x)*(x²+2x+2)+C.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Goodqueston54]

Aber wir kommt man darauf?

[Willy1729]

@Goodqueston54

Partielle Integration.

Interpretiere x² als f(x) und e^(-x) als g'(x).

Dann ist das Integral von f(x)*g'(x) f(x)*g(x)-Int (f'(x)*g(x)dx.

Das Restintegral noch einmal nach derselben Methode integrieren, bis es sich aufgelöst hat.

Du mußt nur höllisch mit den Vorzeichen aufpassen.

Ansonsten DI-Methode.

[Willy1729]

@Willy1729

https://www.youtube.com/watch?v=A6ygq5yyMxQ