Exponentialgleichung lösen?

(e^x)^2 + 2*(e^x) - 3 = 0

Wie löse ich das

Answer 1

[AusMeinemAlltag]

Substitution!

u = e ^ x

Das bedeutet x = ln(u)

u ^ 2 + 2 * u - 3 = 0

pq - Formel anwenden (Google falls unbekannt!):

u_1 = - 3

u_2 = 1

Da u_1 negativ ist führt das wegen x = ln(u) zu imaginären Zahlen, kann man also ignorieren.

Mit u_2 kann man weiterrechnen, es folgt die Rücksubstitution:

x = ln(1) = 0

Comments

[Noma643]

Danke. Wie macht man dann die rücksubstitution?

[AusMeinemAlltag]

@Noma643

Du musst u = e ^ x nach x auflösen.

Das machst du indem du die natürliche Logarithmusfunktion auf beide Seiten der Gleichung anwendest, also:

ln(u) = ln(e ^ x)

ln(u) = x

x = ln(u)

Wenn du u mit Index ermittelt hast dann kannst du x ausrechnen indem du u mit Index da einsetzt.

[Noma643]

@AusMeinemAlltag

Ich dachte aber bei der Substitution zieht man die wurzel..

[AusMeinemAlltag]

@Noma643

Nein, bei Substitution ersetzt du einen Term durch eine Variable um den Ausdruck einfacher zu machen.

Answer 2

[indiachinacook]

Das ist einfach eine quadratische Gleichung mit eˣ als Variable. Substituiere y=eˣ, dann kriegst Du y²+2y−3 = 0, das hat die Lösungen y = +1 und −3, und da x=ln(y) gibt es nur eine reelle Lösung für x, nämlich x=ln(1)=0.