Ebenengleichung.?
Hallo, ich muss eine Gleichung für eine Gerade aufstellen die durch den Punkt p(4/4/4) verläuft und zur Ebene parallel ist
Kann jemand mir bitte erklären wie ich das machen konnte
und zur Ebene parallel ist
Zu welcher Ebene?
X=(2/4/2)+r(-2/2/0)+s(-2/0/2)
1 Antwort
Vorüberlegung: wann ist eine Gerade parallel zu einer Ebene?
1) Es gibt keinen gemeinsamen Schnittpunkt
Da könnte man die Gerade ansetzen mit:
g: x = (4/4/4) + r (x/y/z)
und die mit der Ebene schneiden. Dann müsste man untersuchen, wann es für das entstehende Gleichungssystem keine Lösung gibt. Nach viel Rechnerei käme man auf den Zusammenhang:
x + y + z = 0,
weil das für die Parameter s und t im Nenner steht und durch 0 nicht geteilt werden kann.
Der Weg ist aber steinig und mühsam.
2) Der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden stehen senkrecht aufeinander.
Mit diesem Ansatz wird die Rechnung deutlich einfacher.
Dazu wandeln wir die Ebenengleichung zunächst in die Normalenform um:
Der Normalenvektor lautet also:
n = (4/4/4)
Der Ansatz für die Gerade bleibt gleich:
g: x = (4/4/4) + r (x/y/z)
Der Richtungsvektor u der Geraden lautet:
u = (x/y/z)
Nun bilden das Skalarprodukt von u und n und setzen es zu 0, damit sie senkrecht aufeinander stehen.
n ∘ u = 4x + 4y + 4z = 0
Wir haben eine Gleichung mit drei Umbekannten. Davon können wir 2 beliebig wählen und die dritte ausrechnen, um die Gleichung zu erfüllen:
ausgewählt: x = y = 1
daraus folgt:
4 + 4 + 4z = 0
z = -2
Damit lautet die gesuchte Gerade:
g: x = (4/4/4) + r (1/1/-2)
Nun machen wir vorsichtshalber noch die Probe:
