Ebenengleichung aus 2 sich schneidenen Geraden?
Hallo,
um eine Ebene aus 2 sich schneidenen Geraden zu bestimmen, berechnet man ja erst den den Schnittpunkt und setzt die RV der Geraden als RV der Ebene ein.
Nun sagen einige man kann auch einfach einen Ortsvektor von einer der beiden Vektoren nehmen und diesen als OV in die Ebene einsetzen. Dies wäre natürlich viel einfacher, daher meine Frage ist das korrekt? Oder muss man zwingend den SP berechnen?
LG
2 Antworten
Hallo,
ein Vektor wie s*(2/3/1) ist nur in bezug auf seine Richtung bzw. Gegenrichtung festgelegt. Er kann im Raum beliebig parallel verschoben werden.
Erst durch einen Stützvektor wird er im Raum festgelegt, etwa (5/0/2)+s*(2/3/1). Nun hast Du eine Gerade, die eine feste Position im Raum hat.
Zusammen mit einer zweiten Geraden kann sie nur unter zwei Bedingungen eine Ebene aufspannen: Die beiden Geraden dürfen nicht windschief zueinander stehen und sie dürfen nicht parallel oder antiparallel zueinander sein, ihre Richtungsvektoren müssen also linear unabhängig sein. Wenn die beiden Geraden sich schneiden, kann man den Richtungsvektor der einen Geraden an irgendeinem Punkt der anderen Geraden festmachen. Er läuft dann parallel zur zweiten Geraden, spannt aber die gleiche Ebene auf. Der Punkt auf der ersten Geraden ist dann automatisch der neue Schnittpunkt zwischen der ersten Geraden und dem Richtungsvektor der zweiten.
Um zu prüfen, ob sich beide Geraden schneiden, mußt Du zum einen die lineare Unabhängigkeit der beiden Richtungsvektoren nachweisen. Das geht zum Beispiel über das Kreuzprodukt. Das ist im Falle linearer Abhängigkeit der Nullvektor.
Ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren also nicht der Nullvektor, sind sie linear unabhängig und schneiden sich entweder oder sind windschief zueinander. Um zu prüfen, ob sie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, setzt Du sie entweder gleich oder Du bildest eine 3x3-Matrix aus den beiden Richtungsvektoren und dem Verbindungsvektor der beiden Stützvektoren. Ist die Determinante dieser Matrix (Sarrus-Verfahren anwenden) gleich Null, liegt dieser Verbindungsvektor in der gleichen Ebene wie die beiden Richtungsvektoren, was bedeutet, daß sich die Geraden irgendwo schneiden und eine Ebene aufspannen.
Irgendein Punkt auf Gerade 1 als Stützvektor für den Richtungsvektor von Gerade 2 dient dann als Stützvektor der Ebene.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn Du das Kreuzprodukt schon hast, kannst Du auch einfach das Skalarprodukt des Kreuzproduktes mit dem Verbindungsvektor bilden. Das ist das Spatprodukt. Ergibt das Null, schneiden sich die Geraden. Ist letztlich das Gleiche wie die Determinante, aber einfacher zu rechnen.
Ja, man kann auch nur einen beliebigen Punkt auf einer der Geraden nehmen. Man muss aber zunächst wissen, dass sie sich auch schneiden. Das findet man heraus, indem man die Geraden gleichsetzt.
Veranschaulichung:
Die Geraden f und g liegen hier in einer Ebene. Bei einer beliebigen Ebene im dreidimensionalen Raum kann man diesen auch immer so betrachten, dass man senkrecht auf die Ebene draufschaut. Bei der Ebene im Bild könnte es sich also auch um eine beliebige Ebene im dreidimensionalen Raum handeln.
Die Gerade f ist definiert durch den Stützpunkt A und den Richtungsvektor u. Die Gerade g ist definiert durch Stützpunkt B und den Richtungsvektor v. Eine Ebene wird definiert durch einen Punkt auf der Ebene und zwei linear unabhängige Vektoren in der Ebene. Hierfür könnte man den Punkt A und die Vektoren u und v' wählen. Dabei ist der Vektor v' derselbe wie der Vektor v. Man kann also den Richtungsvektor von g nehmen und sagen, dass er jetzt bei A losgeht.
Nur in der Veranschaulichung unterscheidet man, wo der Pfeil losgeht, die Zahlen sind aber dieselben.
In der Schule stellt man sich Vektoren als einen Pfeil vor, der einen bestimmten Anfangs- und Endpunkt hat. Der Vektor ist aber derselbe, solange er dieselbe Länge hat und in dieselbe Richtung zeigt. An welchem Punkt man den Pfeil einzeichnet, ist egal, es ist immer noch derselbe Vektor. Es ist nur anschaulicher, wenn man einen Punkt und davon zwei ausgehende Pfeile einzeichnet oder es sich vorstellt.
Du kannst immer einen beliebigen Punkt auf der Ebene nehmen und an diesem Punkt dir die beiden Pfeile vorstellen. Ich werde versuchen, meine Antwort noch zu veranschaulichen.
Müssen sie nicht, nein. Aber wenn Schüler noch nicht mit einem Kreuzprodukt und einem Spatprodukt oder einer Determinante von einer Matrix umgehen können, geht es nur über Gleichsetzung und den Schnittpunkt als Stützpunkt der Ebene.
Alles eine Frage der Werkzeuge, die man zur Verfügung hat.
Wow danke, jetzt hab ichs komplett verstanden!! Vielen Dank
Das ist komisch, mein Lehrer meinte nämlich, dass beide RV auf dem OV liegen müssen. Das wäre dann auch falsch oder?