Bei welchen Aufgabentypen muss man die Differenz Funktion berechnen?
Wann muss man die Funktionen voneinander abziehen und wann muss man die Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen?
2 Antworten
Deine Frage zielt vermutlich auf das Fischlogo ab und ist generell nicht zu beantworten. Das bestimmte Integral von f(x) wird landläufig als "Fläche zwischen f(x) und der x-Achse" definiert. Das ist nur dann richtig, wenn im Integrationsintervall f(x) >= 0 gilt oder der Betrag von f(x) integriert wird.
Gibt es auch negative Anteile von f(x), gehen diese negativ in das Gesamtergebnis ein, und das Ergebnis hat mit der Fläche nichts mehr zu tun.
Aus diesem Grund ist es beim Integrieren manchmal nötig, erst die Nullstellen von f(x) zu finden, um negative und positive Funktionanteile absolut addieren zu können (falls man eine Fläche berechnen will).
Beispiel Fischlogo:
Integral f(x) dx über [-5,-4] = -13/24
Integral f(x) dx über [-4,+4] = +32/3
Integral f(x) dx über [+4,+5] = -13/24
Integral g(x) dx über [-5,-4] = +13/16
Integral g(x) dx über [-4,+4] = -16
Integral g(x) dx über [+4,+5] = +13/16
Zusammen ergibt das eine Fläche von |-13/24| + 32/3 + |-13/24| + 13/16 + |-16| + 13/16 = 235/8
Stattdessen könnte man auch den Betrag der Differenzfunktion f(x)-g(x) über das Intervall [-5,+5] integrieren. Das ist aber umständlicher, weil die Stammfunktion von |f(x)-g(x)| nur schwer zu ermitteln ist.
Das ist quasi dasselbe:
Schnittpunkt zweier Funktionen: f(x_0) = g(x_0). Das ist äquivalent zu f(x_0) - g(x_0) = 0, wenn du auf beiden Seiten g(x_0) abziehst.
Und bei welchen Aufgaben braucht man das nochmal?