Ab welcher Menge kann etwas wissenschaftlich bewiesen werden?

Wissenschaftlich belegbar (nicht beweisbar, das ist ein Unterschied!) gilt etwas wenn eine Behauptung (eine "Hypothese") so formuliert werden kann dass sie reproduzierbare Vorhersagen liefert, die durch Beobachtung verifiziert werden können. Beobachtung kann ein Experiment sein, aber auch das wiederholte Vorkommen der Vorhersage unter gleichen Bedingungen in der Natur (z.B. bei der Evolutionstheorie).

Bisher ist das bei dem von dir angefragen Fall des "Paranormalen" noch nicht geglückt. Jegliche Behauptung über angebliche "paranormale" Fähigkeiten fällt in sich zusammen sobald diese sich in einem kontrollierten Experiment beweisen muß.

Im Vergleich dazu gibt es für (Infektions-) Krankheiten nicht nur wissenschaftliche Studien, insbesondere Massenuntersuchungen, sondern auch reproduzierbare Experimente. Auch beim Thema der psychischen Erkrankung gibt es genug wissenschaftliches Material.

Wissenschaftlich bewiesen werden kann gar nichts! Noch nicht einmal, dass morgen die Sonne aufgeht (Stichwort Big Rip Hypothese)

All unser Wissen ist hypyothetisch, Wissenschaft kann nur Hypothesen widerlegen, aber sie nicht beweisen. Eine Hypothese, die lang genug allen Widerlegungsversuchen getrotzt hat, bekommt den Ehrentitel "Theorie"

Lektüretip: Karl R. Popper "Conjectures and Refutations" (auf deutsch etwa: Mutmaßungen und Widerlegungen) , da beschreibt der große Philosoph und Wissenschaftstheoretiker sehr genau, wie Wissenschaft funktioniert

Zum Thema beweisen:

Ein Biologe, ein Jurist und ein Mathematiker reisen in Zug durch Neuseeland. Sie fahren an einer Schafherde vorbei. In dieser Herde ist ein schwarzes Schaf. Der Biologe ruft. "Seht mal her, in Neuseeland gibt es auch schwarze Schafe!" Der Jurist antwortet: "Bewiesen ist doch nur dass es in Neuseeland ein schwarzes Schaf gibt." Darauf der Mathematiker: "Eindeutig bewiesen ist nur, dass es in Neuseeland ein Schaf gibt das auf einer Seite schwarz ist:"

Mir klingt das mehr nach dem Nachweis einer Fähigkeit, und die ist umso glaubwürdiger, je anspruchsvoller die Prüfung dieser Fähigkeit ist.

Beispielsweise prüft man die Fähigkeit, ein Auto zu fahren, in einer Fahrschulprüfung. Besteht man sie, dann heißt es, man hat sie. Gut genug für den Hausgebrauch, signifikant besser als beim Nichtgeschulten.

Wobei der Führerscheinneuling auf einer vereisten, schmalen Passstraße im nebligen Gebirge an seine Grenzen kommen wird. Also doch nur die Illusion einer Fähigkeit? Nun, dann müsste man die Prüfung verschärfen, um Zweifel auszuräumen.

Auch wissenschaftliche Nachweise arbeiten mit Signifikanz, z.B. die Fünf-Sigma-Regel, dass man wirklich ein Teilchen nachgewiesen hat und keinem Zufall aufgesessen ist. Bleiben Zweifel, kann man den Anspruch weiter erhöhen.

wissenschaftlich kann nur selten überhaupt etwas bewiesen werden. Und schon gar nicht mit Statistiken.

Du kannst empirisch Beweise führen, also unter bestimmten, kontrollierten Bedingungen im wiederholten Versuch zeigen, dass etwas in einer bestimmten Art und Weise abläuft oder ein bestimmtes Ergebnis eintritt. Dann gilt das aber nur für diese bestimmten Bedingungen.

Wissenschaft entwickelt Theorien, mit denen die beobachteten Dinge erklärt werden können. Daraus entstehen Modelle. Aber es bleibt immer eine Theorie oder ein Modell und der Beweis ist eben nur durch Experimente zu führen. In den von dir genannten Themenbereichen überwiegend also gar nicht.