Würde das Jobcenter diese Reparatur bezahlen?

Die Kosten für Reparaturen, die durch den Mieter verursacht wurden, sind in der Regel vom Mieter zu tragen, da sie nicht zu den Unterkunftskosten im Sinne des SGB II gehören. 

Das Problem an der Sache ist das es ein Eigenverschulden darstellt. Man hätte die Türe auch vor dem Zuknallen irgendwie Fixieren können ,so das sie nicht zuschlägt.

Nen Keil davor schieben, die Türklinke mit einer Schnur oder Band irgendwo festbinden etc.

In meiner Alten Wohnung hatte ich das gleiche Problem gehabt. Nur ich bin hergegangen ,bin in den Baumarkt hab mir eine dünne Sperrholzplatte zuschneiden lassen aus einem Stück Restholz. Hab dieses dann anstelle der Glasscheibe eingesetzt. Danach die Tür ausgehängt im Hinterhof die Tür Sauber Abgeschliffen mit einem Schleifer und Sauber in einem fast gleichen Farbton Lackiert. Soweit ich weis der Nachmieter ,dem ist es nicht aufgefallen das da eine Glasscheibe mal drin war. Auch mein Vermieter hat nichts dazu gesagt.

Bleibt nur der Weg Ausmessen wie Groß das Glas sein muss. Vorsichtig den Rahmen entfernen . Passendes Glas wieder Einsetzen und das wars. Die Kosten wirst du selbst tragen müssen. Sofern der Vermieter drauf Besteht.

Das heißt für dich eher Geld sparen bzw von Freunden/Familie ausleihen und dann kannst du das ganze reparieren lassen.