wie würdet ihr das folgende Integral berechnen?

Answer 1

[mihisu]

Mit partieller Integration (und dem trigonomischen Pythagoras)...

$A:=\int \left(\cos(x)\right)^2\,\text{d}x$

$A=\int \underbrace{\cos(x)}_{f'(x)}\cdot \underbrace{\cos(x)}_{g(x)}\,\text{d}x$

[Partielle Integration]

$A=\left[\underbrace{\sin(x)}_{f(x)}\cdot \underbrace{\cos(x)}_{g(x)}+C_1\right]-\int \underbrace{\sin(x)}_{f(x)}\cdot \underbrace{\left(-\sin(x)\right)}_{g'(x)}\,\text{d}x$

$A=\sin(x)\cdot \cos(x)+C_1+\int \left(\sin(x)\right)^2\,\text{d}x$

[Trigonometrischer Pythagoras: cos² + sin² = 1 bzw. sin² = 1 - cos²]

$A=\sin(x)\cdot \cos(x)+C_1+\int \left(1-\left(\cos(x)\right)^2\right)\,\text{d}x$

$A=\sin(x)\cdot \cos(x)+C_1+\underbrace{\int 1\,\text{d}x}_{=x+C_2}-\underbrace{\int\left(\cos(x)\right)^2\,\text{d}x}_{=A}$

$A=\sin(x)\cdot \cos(x)+C_1+x+C_2-A$

[Addiere A.]

$2A=\sin(x)\cdot \cos(x)+C_1+x+C_2$

[Dividiere durch 2.]

$A=\frac{\sin(x)\cdot \cos(x)+C_1+x+C_2}{2}$

$A=\frac{\sin(x)\cdot \cos(x)+x}{2}+\underbrace{\frac{C_1+C_2}{2}}_{C:=}$

$A=\frac{\sin(x)\cdot \cos(x)+x}{2}+C$

Answer 2

[Matheeee01379]

Benutze den trigonometrischen Pytaghoras benutzen, um das integral zu vereinfachen.

Int( cosx^2 )dx= Int( cosx * cosx )dx

jetzt Partielle Integration

= cosx*sinx- Int( (-sinx)* sinx )dx

= cosx*sinx - (-1)* Int( sin(x)^2 )

= cosx*sinx+ Int( sin(x)^2 )dx

( trigonometrischer Pythagoras)

sin(x)^2+ cos(x)^2= 1

sin(x)^2= 1-cos(x)^2

Int( sin(x)^2 )dx= cosx*sinx+Int( 1-cosx^2)dx

Int(sin(x)^2)dx= cosx*sinx+Int(1)dx-Int(cos(x)^2)dx

denn jetzt passiert etwas sehr gutes, Unzwar haben wir Int(cos(x)^2)dx zwei mal und wie können das mit einem +Int(cos(x)^2)dx auf die andere Seite holen und dann resultiert daraus

2*Int(cos(x)^2)dx= cosx*sinx+Int(1)dx

2*Int(cos(x)^2)dx=cosx*sinx+x | :2

Int(cos(x)^2)dx= 1/2*cosx*sinx+ 1/2*x

Int(cos(x)^2)dx= 1/2* (cosx*sinx+x)+C

MFG

Answer 3

[evtldocha]

Mit der Formel

$\cos^2\left(x\right)=\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)$

das Quadrat auflösen.

Comments

[ChrisGE1267]

Eleganteste Lösung… :-)

[evtldocha]

@ChrisGE1267

Offen gesagt: Da muss man schon mindestens die Additionstheoreme im Kopf haben und das ist dann doch nicht zu erwarten. Insofern finde ich den Weg einmal partiell zu integrieren und dann ∫sin²(x) dx durch ∫1- cos²(x) dx zu ersetzten um dann

∫cos²(x) dx = sin(x)·cos(x) + ∫1dx - ∫cos²(x) dx zu erhalten, was sich dann auch sofort zu:

2· ∫cos²(x) dx = sin(x)·cos(x) + ∫1dx = sin(x)·cos(x) + x

umschreiben lässt, eher direkt aus dem Kopf heraus machbar.

[ChrisGE1267]

@evtldocha

Natürlich - das ist die Standard-Lösung; aber Mathematiker legen bei Beweisen immer grossen Wert auf Eleganz… :-)

Answer 4

[ShimaG]

Du kannst nur eine Stammfunktion ermitteln, da keine Grenzen gegeben sind.

Ansonsten mit dem normalen Trick dafür: cos^2(x) als 1-sin^2(x) umschreiben, zweimal partiell integrieren, und dann mal scharf hinschauen.

Answer 5

[ultrarunner]

Ich würde die Funktion in cos(x) · cos(x) zerlegen und zweimal partiell integrieren, und dann würde mir etwas Erstaunliches auffallen.