Kompliziertes Integral?
Wie kommt man da auf die Lösung?
3 Antworten
Ich würde zuerst versuchen die Stammfunktion zu bilden, was sich als beschwerlich zeigt, da ich kein Plan habe.
Dann greife ich wieder auf ein Heiligtum zurück, Reihenentwicklungen...
Ich kann keine Formel für einen generellen Koeffizienten finden, also gebe ich da halb auf. Die Formel erinnert mich an ein Spezialfall eine Verallgemeinerten Hypergeometrischen Funktion, die ich immer wieder vergesse, obwohl ich sie oft benutze, womit ich zum anderen Heiligtum komme (hier die Quelle für die Formel):
\begin{align*}
\operatorname{_{1}F_{0}}\left( a;\, \cdot;\, z \right) &= \left(1 - z \right)^{-a}\\
\operatorname{_{1}F_{0}}\left( 1;\, \cdot;\, -e^{x^{2}} \right) &= \left(1 - -e^{x^{2}} \right)^{-1} = \frac{1}{1 + e^{x^{2}}}\\
\\
\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + e^{x^{2}}}\, \operatorname{d}x &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} \operatorname{_{1}F_{0}}\left( 1;\, \cdot;\, -e^{x^{2}} \right)\, \operatorname{d}x\\
\end{align*}
Da die VHF durch eine Reihentwicklung definiert ist kann ich jetzt einfach ihre Reihenentwicklung nutzen und muss nicht verkrampft was eigenes finden:
Aka wir erhalten:
\begin{align*}
\operatorname{_{1}F_{0}}\left( a;\, \cdot;\, z \right) &= \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{\left( a \right)_{k}}{k!} \cdot z^{k} \right]\\
\\
\operatorname{_{1}F_{0}}\left( 1;\, \cdot;\, -e^{x^{2}} \right) &= \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{\left( 1 \right)_{k}}{k!} \cdot \left( -e^{x^{2}} \right)^{k} \right]\\
\operatorname{_{1}F_{0}}\left( 1;\, \cdot;\, -e^{x^{2}} \right) &= \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{k!}{k!} \cdot \left( -1 \right)^{k} \cdot \left( e^{x^{2}} \right)^{k} \right]\\
\operatorname{_{1}F_{0}}\left( 1;\, \cdot;\, -e^{x^{2}} \right) &= \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \left( -1 \right)^{k} \cdot e^{k \cdot x^{2}} \right]\\
\end{align*}
Damit können wir dann einfach die Stammfunktion bestimmen (die Stammfunktion von exp(kx²) habe ich ja schon mehrfach unter deinen Fragen hergeleitet, also leite ich das nicht noch einmal Schritt für Schritt her, aber wenn jemand interessiert ist kann er sie hier nachlesen):
\begin{align*}
\int \frac{1}{1 + e^{x^{2}}}\, \operatorname{d}x &= \int \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \left( -1 \right)^{k} \cdot e^{k \cdot x^{2}} \right]\, \operatorname{d}x\\
\int \frac{1}{1 + e^{x^{2}}}\, \operatorname{d}x &= \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \int \left( -1 \right)^{k} \cdot e^{k \cdot x^{2}}\, \operatorname{d}x \right]\\
\int \frac{1}{1 + e^{x^{2}}}\, \operatorname{d}x &= \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \left( -1 \right)^{k} \cdot \int e^{k \cdot x^{2}}\, \operatorname{d}x \right]\\
\int \frac{1}{1 + e^{x^{2}}}\, \operatorname{d}x &= \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \left( -1 \right)^{k} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2 \cdot \sqrt{k}} \cdot \operatorname{erfi}\left( \sqrt{k} \cdot x \right) \right]\\
\end{align*}
wobei Erfi die Imaginäre Fehlerfunktion von Euler ist.
Das ganze können wir dann wieder umschreiben und vereinfachen:
(wie haben unter den Bruchstrich ja einmal eine 0, was ein Problem ist)
doch betrachten wir die Herkunft int exp(k x²) dx, dann wäre k=0: exp(0 x²) = exp(0) = 1 aka int exp(0 x²) = x aka wir können das durch x austauschen und den Index schnell erhöhen:
\begin{align*}
\int \frac{1}{1 + e^{x^{2}}}\, \operatorname{d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{\left( -1 \right)^{k}}{\sqrt{k}} \cdot \operatorname{erfi}\left( \sqrt{k} \cdot x \right) \right]\\
\int \frac{1}{1 + e^{x^{2}}}\, \operatorname{d}x &= x + \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \sum\limits_{k = 1}^{\infty}\left[ \frac{\left( -1 \right)^{k}}{\sqrt{k}} \cdot \operatorname{erfi}\left( \sqrt{k} \cdot x \right) \right]\\
\end{align*}
Lassen wir das jetzt einmal x gegen unendlich laufen, läuft der ganze Term gegen unendlich, bei gegen -unendlich geht es gegen -unendlich aka wir müssen beide Grenzwerte Gleichzeitig ziehen...
Damit ist für mich das Integral gelöst...
Da du es aber wahrscheinlich in einer geschlossenen Form haben willst:
Die x-e bei beiden heben sich gegenseitig auf, das Wurzel k-Teil wird zur k^{1/2} Reihe, was als Riemannsche Zetafunktion aus 1/2 bekannt ist und der Rest ist approximieren oder die Arbeit von Gauß zu den Gaußschenkettenbrüchen klauen:
\begin{align*}
\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + e^{x^{2}}}\, \operatorname{d}x &=
2 \cdot \sqrt{\pi} \cdot \zeta\left( \frac{1}{2} \right) \cdot \gimel\\
2 \cdot \gimel &= \frac{1}{-2 + \frac{1}{-2 + \frac{1}{-2 + \frac{1}{-2 + \frac{1}{-2 + \frac{1}{-2 + \ddots }}}}}} \approx -0,41421\dots\\
\end{align*}
\begin{align*}
\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + e^{x^{2}}}\, \operatorname{d}x &= \frac{\sqrt{\pi} \cdot \zeta\left( \frac{1}{2} \right)}{-2 + \frac{1}{-2 + \frac{1}{-2 + \frac{1}{-2 + \frac{1}{-2 + \frac{1}{-2 + \ddots }}}}}} \approx 1,072154929940\dots\\
\end{align*}
Ich danke dir trotzdem viel mals, dass du dir das antust. Gibst mir dann immer ein Lächeln :)
Was ist denn das letzte Zeichen da? Also einmal sqrt(pi), zeta(1/2) und das andere?
Meinst du "\ddots" aka diese drei Punkte ganz unten rechts im Kettenbruch? Das soll einfach nur bedeuten, dass der Bruch unendlich lange so weiter geht.
Respekt, aber trotzdem zwei Fragen zur Konvergenz:
Aka wir erhalten:
Du hast 1/(1+e^(x^2)) als geometrische Reihe ausgeschrieben. Das geht für e^(x^2) < 1. Es ist daher im weiteren Verlauf nicht klar, dass du über die ganze reelle Achse integrieren kannst.
.... das Wurzel k-Teil wird zur k^{1/2} Reihe, was als Riemannsche Zetafunktion aus 1/2 bekannt ist ...
Die Reihendefinition der Riemannschen Zetafunktion gilt nur für Realteil >1, mit anderen Worten die Summe über k^(-1/2) konvergiert nicht
Ich glaube nicht, dass man das "einfach" berechnen kann, d.h. mit den klassischen Integrationstechniken "straight forward". Wolfram Alpha liefert hier im Ergebnis eine Riemann'sche Zeta-Funktion für das uneigentliche bestimmte Integral:
Sobald dies der Fall ist, ist es nicht mehr "einfach".
:-)
Vielleicht gibts hier jemanden, der das kann...interessant wäre es, vielleicht doch eine halbwegs verständliche Methode kenenzulernen. Mit einiger Wahrscheinlichkeit liegt das aber leider außerhalb meines mathematischen Horizonts ...
Bin zwar etwas aus der Übung, aber ich würde erstmal den Bruch mittels negativen Exponenten beseitigen und dann erst das Integral bilden.
Ich will einmal anmerken, dass ich jedes mal einen Anfall bekomme, wenn ich diesen Formeleditor benutzen will oder wenn ich laut gutefrage "zu viele Bilder" benutze und deswegen mehrere Bilder auf eines raufquetschen muss...