Wenn ich bis in die Ewigkeit immer eine Münze werfe, kann es dann sein, dass die Münze immer auf Kopf landet? Oder wird sie irgendwann auf Zahl landen?

Ja, es ist theoretisch möglich, dass immer Kopf kommt.

Die Wahrscheinlichkeit dafür ist zwar sehr gering (nämlich gleich 0), aber es ist möglich.

[Und... Nein, das ist kein Widerspruch, dass die Wahrscheinlichkeit 0 ist und das Ereignis trotzdem möglich ist. Solche Ereignisse nennt man „fast unmögliche“ Ereignisse. Beachte, dass „fast unmöglich“ nicht das Gleiche ist wie „unmöglich“.]

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Anderseits kann man auch sagen: Es wird fast sicher irgendwann Zahl kommen.

[Auch hier sollte der Unterschied zwischen „fast sicher“ und „sicher“ beachtet werden. Es wird nicht sicher irgendwann Zahl kommen. Es wird nur fast sicher irgendwann Zahl kommen.]

Das Problem ist, dass du nicht bis in alle Ewigkeit würfeln kannst. Für jeden endlichen Zeithorizont gibt es eine positive, wenn auch noch so kleine Wahrscheinlichkeit, dass nie Zahl kommt. Der mathematische Limes gegen unendlich liefert dann eine Null. Das kann man so interpretieren, dass irgendwann Zahl kommt. Aber es ist eine mathematische Interpretation fern unserer Realität.

Hallo.

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass jedes Ereignis in seiner Häufigkeit entsprechend seiner Wahrscheinlichkeit eintreten wird.

Wenn du also bis in alle Ewigkeit die Münze wirfst, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du immer Kopf bekommst so verschwindend gering, dass man sie mit 0 beziffern kann. Das bedeutet im Umkehrschluss, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Zahl auf 1 steigt.

Genau genommen wirst du aber unendlich oft Kopf und unendlich oft Zahl bekommen.

Ich hatte sogar ein paar mal hintereinander auf Kante. Sehr ungewöhlich.

Mathematisch entspricht dies einer Grenzwertbildung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir keinen "Kopf" haben, ist nach n Würfen

Jetzt erhöhen wir n beliebig auf "Grenzwert unendlich" und erhalten

Limes( 1 / 2^n ) für n -> unendlich = 0

Der Grenzwert kommt der Null nicht nahe sondern IST 0.

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Niemals Kopf" ist also bei unendlich vielen Würfen GLEICH NULL.

EDIT:

Das was ich oben beschrieben habe gilt für einen einzigen Versuch mit unendlichen Würfen.

So wie die Frage gestellt ist, werden hier aber scheinbar zwei Unendlichkeiten gegenübergestellt.

Man könnte sich vorstellen, dass man unendlich viele Versuche hätte, um eine Reihe von unendlich vielen "Kopf"-Ereignissen zu erzielen.

Dann wäre die Limesbildung

Limes [ m * Limes( 1 / 2^n ) ] für n -> unendlich, m -> unendlich

Der Grenzwert würde hier zusammenfallen auf

Limes ( k / 2^k ) für k -> unendlich

Und da 2^k exponentiell schneller wächst als k wäre er auch hier wieder NULL.

Achill läßt grüßen.