Mathe Unwahrscheinlichkeit in der Unendlichkeit wird 100%?
Hallo.
Ich wusste nicht, wie ich diesen Titel nennen sollte, da ich gerade relativ müde bin. Also vielleicht ist er etwas unverständlich oder inkorrekt.
Wenn ich z.B. eine Münze werfe, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie auf Kopf/Zahl landet 50%. Wenn ich eine Münze zwei mal werfe, ist die Wahrscheinlichkeit immer noch 50%, aber die Wahrscheinlichkeit, dass ich zweimal das selbe hintereinander bekomme ist 25%. Wenn ich eine Münze drei mal werfe ist die Wahrscheinlichkeit 12,5%. Meine Frage ist jetzt:
Wenn ich eine Münze unendlich oft werfe, gewinnt dann die Konvergenz gegen 0% oder, dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf immer 50% bleibt?
Ich denke, dass die Konvergenz gewinnt, weil das ja die Sache mit der Konvergenz ist, dass sie konvergiert. Aber ich bin mir da immer doch nie sicher.
Vielleicht ergibt das wenig Sinn, da ich etwas müde und Krank bin, aber ich will das jetzt wissen.
Danke!
3 Antworten
Der Begriff "Konvergenz gewinnt " ist schon mal Unsinn, aber vielleicht hast du ja was sinnvolles gemeint, das sich mir nicht erschließt.
In dem Was du da beschreibst geht vieles durcheinander.
Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 1/2.Soweil richtig. Die Wkt für zwei mal Kopf bei zwei Würfen ist 1/4, für drei mal Kopf bei drei Würfen ist 1/8, usw.
Die Wkt für n-mal Kopf in n Würfen ist (1/2)^n.
(1/2)^n geht gegen 0, wenn n gegen Unendlich geht. Soweit das, was du wohl sagen wolltest.
Für jeden einzelnen Wurf ist die Wkt für Kopf immer 1/2. Das drückt sich in der1/3 in 1/2 ^n aus.
In Worten ausgedrückt: Es ist sehr sehr unwahrscheinlich bei sehr vielen Würfen IMMER Kopf zu erhalten, aber nicht unmöglich. Due Wkt dafür ist nahe Null aber immer ein wenig größer als Null.
Noch eines, das nicht-Mathematiker immer nicht kapieren wollen: wenn es dir gelungen ist n mal Kopf zu werfen, dann ist trotzdem für den nächsten Wurf n+1 die Wkt für Kopf wieder bei 1/2 und nicht geringer "weil die Kopf-Würfe ja schon verbraucht sind".
Sei X_n die Zufallsvariable, die den Wert 1 hat, wenn bei n würfen immer Kopf geworfen wurde, und 0 falls nicht.
Dann ist P(X_n) = 1/2^n, und die Wahrscheinlichkeit geht gegen 0, wenn n gegen unendlich geht.
Argumentieren wir mal ganz unmathematisch:
Es ist ja klar, dass die Wahrscheinlichkeit, 2x hintereinander dieselbe Seite der Münze zu werfen größer ist, als 10x oder 1000x hintereinander dieselbe Zahl zu werfen. Und die Wahrscheinlichkeit, unendlich oft hintereinander dieselbe Seite zu werfen geht eben einfach ganz klar Richtung 0.
Bei jedem einzelnen Wurf aber ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du eine vorher festgelegte Seite der Münze erwischt, wieder 50%. Egal, ob Du nur einmal, 1000x oder unendlich oft die Münze wirfst.
Der Unterschied ist eben: bei dem ersten gehen alle vorherigen Ergebnisse mit ein. Bei letzterem zählt nur der aktuelle Wurf.