Ist oder kann Wahrscheinlichkeit unendlich sein?
Eine Maschine wirft eine Münze für unendlich lange Zeit immer und immer wieder. Wird diese Münze irgendwann definitiv auf Kopf fallen müssen. Oder, existiert die Wahrscheinlichkeit, dass diese Münze niemals auf dem Kopf landen wird?
7 Antworten
Die Wahrscheinlichkeit ist maximal 1. Aber Du meinst etwas anderes
Definitiv existiert diese Möglichkeit der permanenten Wiederholung. Beweis durch Widerspruch: Sie n+1 das Element der Folge, an welchem keine Wiederholung stattfinden könnte. Dann müsste die Element 1 bis n Auswirkungen auf n+1 haben. Haben sie aber nicht, weil die Wahrscheinlichkeit kein Gedächtnis hat. Oder anders ausgedrückt. Im Moment von n+1 besteht weiterhin die Wahrscheinlichkeit von 50:50 oder noch anders ausgedrückt: Im Moment von n+1 gibt es die zwei Möglichkeiten: n+1 genauso wie die n vorigen Elemente oder n+1 anders als die n vorigen Elemente.
Demnach existiert die Möglichkeit, dass permanent Kopf gewählt wird. Allerdings geht die berechnete Wahrscheinlichkeit gegen null, da
es ist nämlich nur eine Möglichkeit aus sehr vielen (wobei viel gegen unendlich läuft). Aber dennoch, und hier bricht die Wahrscheinlichkeitstheorie mit der übrigen Mathematik, wird trotz dieser ominösen Null die Wahrscheinlichkeit bejaht, zu recht. Denn jede Möglichkeit hätte diese Null, die diskrete Mathematik will sich in der Unendlichkeit quasi nicht in der Stetigkeit verlieren, sondern diskret bleiben, ganz unmathematisch gesagt.
Die Wahrscheinlichkeit, nur Kopf zu werfen, schrumpt allerdings schneller: nicht
limn→∞ ¹⁄ₙ,
sondern
limn→∞ ½ⁿ.
Wahrscheinlichkeiten sind immer zwischen 0 und 1 (Axiome von Kolmogorov)
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Mal Kopf geworfen wird ist 1.
Das Gegenereignis ist nämlich dass bei jedem Wurf Zahl geworfen wird. Dieses Ereignis lässt sich als Unendlicher Schnitt der Ereignisse A_n schreiben, wobei A_n das Ereignis ist, dass die ersten n Würfe Zahl sind (die restlichen sind egal)
Es gilt offensichtlich P(A_n)=1/2^n, wenn n gegen unendlich geht, geht somit die Wahrscheinlichkeit gegen 0.
P ist "stetig von oben" das bedeutet, wenn man Mengen hat für die gilt, dass wenn A_(n+1) in A_n drin ist für alle n (was hier der Fall ist) dass dann gilt, dass die Wahrscheinlichkeit von dem Unendlichen Schnitt der A_n gleich dem Grenzwert von P(A_n) ist, wenn n gegen unendlich ist.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit von Gegenereignis dass immer nur Zahl geworfen wird gleich 0, somit ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Mal Kopf genau 1.
Man kann sogar eine interessantere Aussage schließen:
Sei A_n das Ereignis, dass beim n. Wurf Zahl vorkommt (die restlichen Würfe sind egal)
Dann ist die Wahrscheinlichkeit dass für unendlich viele n A_n Eintrifft gleich 1. (Lemma von Borel-Cantelli da die Ereignisse alle unabhängig sind, und P(A_n) immer gleich 1/2 ist, weswegen die Summe der P(A_n) über alle natürliche N unendlich ist)
Also folgt: Die wahrscheinlichkeit dass Kopf unendlich oft geworfen wird ist 1
Sicher damit? Denn die Wahrscheinlichkeit einer Folge mit nur Zahl hat dieselbe Wahrscheinlichkeit wie jede andere inhaltlich fixierte Folge. So hat die Folge ZZZZZ dieselbe Wahrscheinlichkeit wie KKKKZ oder KZZZZ oder KKZKK oder welche auch immer.
Jedes Elementarereignis (also jedes Ereignis, welches genau eine Folge als Element hat) hat in diesem Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeit 0. Das ist hier auch kein Problem, da wir und hier nicht in einem Diskreten Wahrscheinlichkeitsraum befinden. Denn die Menge der Möglichen Ergebnisse ist überabzählbar (da die Menge der unendlichen Binären Folgen überabzählbar ist)
Es existiert somit kein Diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß, für das gilt, dass jedes Elementarereignis eine Wahrscheinlichkeit größer als 0 hat. Somit müssen einige Elementarereignisse die Wahrscheinlichkeit 0 haben, woraus aber dann folgt dass alle Elementarereignisse die Wahrscheinlichkeit 0 haben, da alle eben die selbe Wahrscheinlichkeit haben.
Es gibt ja noch andere Verteilungen wo das der Fall ist. Bei der Normal-Verteilung hat ja auch jedes Elementarereignis (und jedes Abzählbare Ereignis) die Wahrscheinlichkeit 0.
Mit dem "Spielerfehlschluss" hat das ganze nichts zu tun, denn es geht hier darum ob Kopf irgendwann vorkommt, nicht ob Kopf jetzt gerade gewürfelt wird (da ist die Wahrscheinlichkeit natürlich immer 1/2)
Du schreibst
Somit ist die Wahrscheinlichkeit von Gegenereignis dass immer nur Zahl geworfen wird gleich 0, somit ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Mal Kopf genau 1.
In dem Satz müsste man doch Zahl und Kopf vertauschen können , und der Satz bleibt richtig ?
Ja, die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Mal Zahl ist auch 1
Zu deiner Frage :
Oder, exestiert die warscheinlichkeit W , dass diese Münze niemals auf Kopf landen wird?
Das Niemals bedeutet eine W von Null : Antwort : Ja , sie existiert
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Die Wahrscheinlichkeit, dass nach 10 Würfen mindestens einmal Kopf kommt ist , 1 - (1/2) hoch 10 = 0.999023
nach 100 1- (1/2) hoch 100 = 0.9999999999999999999999999999999999999992111
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Klar ist , dass diese Wahrscheinlichkeit sich immer weiter der 1 nähert. Aber die 1 nicht erreichen kann , was hier bedeutet , dass auch nach Millionen Würfen noch kein Kopf gefallen sein kann .
Was aber FÜR MICH nicht heißt , dass die W Null ist.
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Wird das Problem aber mathematisch durchdacht : Siehe Janglers Anwort.
Wahrscheinlichkeit bewegt sich zwischen 1 und 0. Bei einem idealen Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit 1/2, es wird also erwartet, dass die Münze bei unendlich häufig durchgeführten Würfen genauso oft auf dem Kopf landet, wie auf Zahl.
Für eine Anzahl an endlichen Würfen kann dagegen keine absolute Voraussage über das Ergebnis getroffen werden. Es ist nur mit zunehmender Häufigkeit an Würden unwahrscheinlicher (aber nicht 0), dass sie - falls idealer Münzwurf - niemals auf den Kopf fällt.
Für eine Anzahl an endlichen Würfen kann dagegen keine absolute Voraussage über das Ergebnis getroffen werden.
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Sollte es nicht : unendlichen : heißen ?
Eine Wahrscheinlichkeit kann höchstens 1 sein. Sie kann minimal 0 sein.
Ein gültiger Würfelwurf hat 1-6 Augen. Also gibt es die Wahrscheinlichkeit 1, eine Zahl von 1-6 zu würfeln.
Ebenso gibt es die Wahrscheinlichkeit 0 mit einem Standardwürfel eine 7,5 zu würfeln.
Sicher damit? Denn die Wahrscheinlichkeit einer Folge mit nur Zahl hat dieselbe Wahrscheinlichkeit wie jede andere inhaltlich fixierte Folge. So hat die Folge ZZZZZ dieselbe Wahrscheinlichkeit wie KKKKZ oder KZZZZ oder KKZKK oder welche auch immer.
Wenn wir nur die Anzahl der Würfe gegen unendlich laufen lassen, wird die Wahrscheinlichkeit von ZZZ...ZZZZ immer geringer und die der übrigen logischerweise immer höher.
Folgt Dein Schluss aus Limes n gegen unendlich für 1/n = 0? Das finde ich interessant, denn die Wahrscheinlichkeit hat kein Gedächtnis, so eine Annahme.
Aus Wiki:
Mit diesem Limes n gegen unendlich hättest Du es widerlegt, deswegen bin ich mir sehr unsicher. Ich hätte für alle n gesagt, die Chance bleibt bei 50:50 ob Kopf oder Zahl, also niemals gleich 0. Aber vielleicht scheitert mein Gedankengang daran, dass Du hier den Verlauf über unendlich betrachtest.