Stammfunktion berechnen?

Wie berechne ich die stammfunktion von

x*e^(1-x)

Answer 1

[evtldocha]

Partielle Integration:

$u(x)=x\ →\ u'(x)=1;\ \ v'(x)=e^{1−x}→\ v(x)=−1\cdot e^{1-x}$

Damit

$\int u\left(x\right)v'\left(x\right)\ dx\ =\ u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-\int u'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)dx\ \ =\$ $-x\cdot e^{1-x}-\int1\cdot\left(-e^{1-x}\right)\ dx\ =\ -x\cdot e^{1-x}+\int e^{1-x}dx\ =$ $-\left(x+1\right)e^{1-x}\$

Daher lautete die Stammfunktion:

$F\left(x\right)=-\left(x+1\right)e^{1-x}\ +\ C$

Alternativ kannst Du f(x) in $f\left(x\right)=x\cdot e^{1-x}=e\cdot xe^{-x}$ umschreiben, falls Dir damit die partielle Integration leichter fällt.

Answer 2

[Littlethought]

In der Schule macht man das mit der sogenannten partiellen Integration. Einfacher erscheint mir allerdings das Verfahren mit Variation der Konstanten.

f(x) = x * e^(1-x) ; F(x) = h(x) * e^(1-x) ; =>

F´(x) = h´(x) * e^(1-x) - h(x) * e^(1-x) = x * e^(1-x) ; =>

h´(x) - h(x) = x ; => h(x) = a*x +b ; => a - a*x - b = x ; => a = -1 ; b = -1 ; =>

F(x) = -(1+x) * e^(1-x) ;

Answer 3

[gauss58]

mittels partieller Integration