Mathematiker gesucht..?
Es geht um 2 mathematische Probleme:
1. Folgende Frage:
Angenommen a und b sind zwei reelle, aber nicht rationale, Zahlen. Welche der folgenden Aussagen muss wahr sein?
A) ab ist rational
B) ab ist nicht rational
C) a+b ist rational
D) |a| + |b| ist nicht rational
E) Wurzel(ab) ist reel
meiner Mng nach gar keine der Antwortet, denn:
A) Wurzel(50)×Wurzel(2) = 10
B) Wurzel(3) × Wurzel(2) = Wurzel(6)
C)Wurzel(3)+Wurzel(2)
D)a := Pi ; b := 10-Pi => ergibt 10
E) Wurzel[Wurzel(2)×-Wurzel(3)]
2. ,,Ein Fußballteam posiert für ein Foto. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge, in der die Spieler platziert werden, wenn nach Position sortiert wird? Es gibt 1 Torwart, 3 Verteidiger, 4 Mittelfeldspieler und 3 Stürmer.
Mir ist klar dass hierfür eigentlich 11!/(3!×4!×3!) gerechnet werden muss. Aber was lasse ich außen vor, wenn ich stattdessen über das Zählprinzip gehe? [3!(Verteidiger)×4!(Mittelfeld)×3!(Sturm)×4!(Möglichkeiten der Anordnung der Positionen)]
2 Antworten
Zu deinem ersten Problem hast du die richtige Überlegung angestellt. Lassen wir uns die Optionen noch einmal genauer anschauen:
A) ab ist rational - Das ist nicht notwendigerweise wahr, wie dein Beispiel mit √50 * √2 = 10 zeigt, wo das Produkt zweier irrationaler Zahlen tatsächlich rational ist. Aber es gibt auch Gegenbeispiele wie √2 * √3 = √6, welches irrational ist.
B) ab ist nicht rational - Auch das muss nicht unbedingt wahr sein, wie das Gegenbeispiel zu A zeigt.
C) a+b ist rational - Auch das ist nicht zwingend wahr, wie das Beispiel mit √3 + √2 zeigt, welches irrational ist.
D) |a| + |b| ist nicht rational - Dies kann nicht als allgemeingültig angenommen werden. Zum Beispiel, wenn a = π und b = -π, dann ist |a| + |b| = π + π = 2π, was nicht rational ist, aber wenn a = √2 und b = 2-√2, dann ist |a| + |b| = √2 + |2-√2| = √2 + √2 = 2√2, was rational ist.
E) √(ab) ist reell - Das ist immer wahr, wenn a und b reelle Zahlen sind (egal ob rational oder irrational), da das Produkt von zwei reellen Zahlen immer reell ist und die Wurzel aus einem reellen, nichtnegativen Produkt auch reell ist. Dein Beispiel mit √(√2 * -√3) ist jedoch nicht korrekt, weil -√3 keine reelle Zahl ist, wenn man sie unter den reellen Zahlen betrachtet (denn die Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert in den reellen Zahlen). Die korrekte Interpretation von E) wäre, dass wenn a und b beide reelle, positive irrationale Zahlen sind, dann ist √(ab) auch reell. Das Ergebnis kann jedoch irrational oder rational sein.
Also, unter den gegebenen Optionen, ist E die einzige Aussage, die wahr sein muss, solange a und b positive reelle Zahlen sind.
Zum zweiten Problem:
Deine erste Berechnung mit 11!/(3!×4!×3!) ist korrekt, wenn du die Anzahl der Möglichkeiten berechnen willst, die Spieler nach Position zu ordnen, wobei die Spieler innerhalb ihrer Positionen austauschbar sind (also alle Verteidiger sind austauschbar, alle Mittelfeldspieler sind austauschbar, usw.).
Wenn du jedoch das Zählprinzip auf die Weise anwenden willst, wie du es vorgeschlagen hast, würdest du die verschiedenen Anordnungen der Positionen selbst nicht korrekt berücksichtigen. Du hast 4 Positionen (Torwart, Verteidiger, Mittelfeld, Stürmer), die du auf 4! Arten anordnen kannst. Innerhalb dieser AnordnungInnerhalb dieser Anordnung kannst du dann die Spieler in jeder Position auf verschiedene Arten anordnen:
- Für den Torwart gibt es nur 1 Möglichkeit, da es nur einen Torwart gibt.
- Für die Verteidiger gibt es 3! = 6 Möglichkeiten, da es 3 Verteidiger gibt.
- Für die Mittelfeldspieler gibt es 4! = 24 Möglichkeiten.
- Für die Stürmer gibt es 3! = 6 Möglichkeiten.
Also, wenn du wirklich alle verschiedenen möglichen Anordnungen der Spieler nach Positionen berücksichtigen willst, dann musst du die Anzahl der Anordnungen für jede Position multiplizieren und dann dieses Produkt mit der Anzahl der Anordnungen der Positionen selbst multiplizieren. Das gibt dir:
1 (Torwart) * 3! (Verteidiger) * 4! (Mittelfeld) * 3! (Stürmer) * 4! (Anordnung der Positionen)
Das wäre:
1 * 6 * 24 * 6 * 24 = 20736
Das gibt an, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, die Spieler anzuordnen, wenn auch die Reihenfolge der Positionen (also ob zuerst der Torwart, dann die Verteidiger, Mittelfeldspieler oder Stürmer kommen) variiert werden kann.
Es ist wichtig zu beachten, dass diese Zahl die Anordnung der Spieler innerhalb ihrer Positionen sowie die Anordnung der Positionen selbst berücksichtigt. Wenn die Reihenfolge der Positionen fest wäre (z.B. immer zuerst Torwart, dann Verteidiger, Mittelfeldspieler, Stürmer), dann würdest du nicht mit 4! multiplizieren und die Anzahl der Anordnungen wäre 1 * 3! * 4! * 3! = 1 * 6 * 24 * 6 = 864.
nicht korrekt, weil -√3 keine reelle Zahl ist
Wie kommst du darauf? Selbstverständlich ist -√3 eine reelle Zahl!
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Beim ersten Problem habe ich wohl die Beispiele zu A und B verwechselt...
Zu 2.:
Mein Problem ist, dass ich durch den ersten Ansatz 46.200 Möglichkeiten und durch den zweiten jene 20.736 Möglichkeiten erhalte. Woran liegt das bzw. worin liegt der genaue Unterschied zwischen den Methoden bzw. ihrer Bedeutung?
Beim ersten Problem habe ich wohl die Beispiele zu A und B verwechselt...
Ja, das hast du. Ansonsten einverstanden.
Mir ist klar dass hierfür eigentlich 11!/(3!×4!×3!) gerechnet werden muss.
Das sehe ich nicht so, dies wäre die Anzahl die Spieler aufzustellen, wenn man die verschiedenen Positionen dabei nicht unterscheidet. Damit ist aber keine Anordnung im Sinne "erst Torwart, dann die 3 Verteidiger, dann das Mittelfeld..." verbunden.