Mathematikaufgabe Känguruwettbewerb 2022?
Sehr geehrte Mathematiker,
im Rahmen meiner Ferien habe ich aus Spaß ein paar alte Mathematikwettbewerbsaufgaben durchgerechnet, dabei auch den Känguruwettbewerb. Ich stieß dabei auf folgende Aufgabe:
Ich habe nun die Lösung, es ist D. Mein Lösungsweg sieht allerdings sehr halbgaren aus.
Ich habe ganz simpel:
45*A=T
48*(A-2)=T+2
48A-98=T=45A (-2 nicht vergessen!) <-> A=30,6666 -> min. 31 nötig.
Das kann doch nicht die Lösung sein. Das wäre ein mehr als hässlicher Lösungsweg. Habt ihr die Lösung?
3 Antworten
Das kann doch nicht die Lösung sein.
Natürlich nicht:
- Zum einen ist A bei Dir die Anzahl vorher. Gefragt ist aber die Anzahl nachher.
- Zum anderen nimmst Du an, dass alle Diamanten den gleichen Wert haben. Das beißt sich mit der Wahl der „zwei wertvollsten Diamanten“.
Ich würde so anfangen:
- A = Wert in der Auslage nachher.
- T = Wert im Tresor vorher.
- K = Wert der Kundenauswahl.
45(A+K)=T, 48A=T+K ⇒ 3A=46K
Nun sei P ein „Trennpreis“ zwischen A und K: jeder der n Diamanten von A ist höchstens P wert, beide in K sind mindestens P wert:
- A ≤ nP
- K ≥ 2P
Der Rest ist jetzt einfach. Beachte, dass die Aufgabe für P≤0 eine andere Lösung hat. Du solltest die zusätzliche Annahme P>0 zumindest am Rande erwähnen.
Hi LoverOfPi.
Dein Ansatz ist doch völlig in Ordnung! Wenn du der Antwort nicht traust, kannst du es ja auch einfach mal mit einem Fallbeispiel nachprüfen, indem du für T und A fiktive Werte einsetzt.
Zum Beispiel 811.440€, welches der kgN für 45, 46, 48 und 49 ist.
T = 811.440€ * 45/46 = 793.800€
A = 811.440€ * 1/46 = 17.640€
G = T + A
Nun wird von A so viel abgezogen, dass es nur noch 1/49 von G darstellt und T 48/49 davon:
A = 811.440€ / 49
A = 16.560€
Es wurden also
17.640€ - 16.560€ = 1.080€
von A nach T umgelagert. Diese 2 sollen die wertvollsten Diamanten sein.
Wir könnten es nun ganz extrem machen, und einem der Diamanten einen sehr hohen Wert zuweisen und dem anderen einen sehr niedrigen, allerdings würde das die nötige Anzahl der verbleibenden Diamanten erhöhen. Um das Minimum herauszufinden, müssen wir also annehmen, dass beide gleichwertig sind!
Entsprechend kostet einer:
1.080€ / 2 = 540€
Da diese wertvoller als der Rest sind, müssten wir hier eigentlich noch etwas abziehen, im Grunde können wir den Wert aber auch gleichlassen und erst mal gucken wohin wir kommen:
D = 16.560€ / 540€
D = 30,66667
31 ist demnach korrekt und mit Fallbeispiel nachgewiesen.
Das wäre mein Ansatz:
Sei T die summe die Werte der Diamanten im Tresor und a_1,...,a_m die Werte der Diamanten in der Auslage und A die Summe (dabei sind die Werte von groß nach klein geordnet).
Dann erhält man:
T = 45*A
Und
T + a_1 + a_2 = 48*(A-a_1-a_2)
Zieht man die Erste Gleichung von der zweiten ab erhäkt man somit:
a_1 + a_2 = 3A-48a_1 - 48 a_2
Bzw
49(a_1+a_2) = 3A
Wir wollen die Kleinstmögliche Anzahl der Diamanten. Dazu müssen die Anderen Diamanten möglichst wertvoll sein. Da die Werte jedoch geordnet sind, können die anderen Diamanten höchstens den Wert a_2 haben. Somit wollen wir auch, dass a_2 môglichst hoch ist, das ist der Fall wenn a_1 =a_2 gilt.
Besser gesagt alle Diamanten haben nun den den selben selben wert a.
Wir erhalten somit die Gleichung;
49*2a = 3*m*a
Und somit:
m = 49*2/3 ≈ 32,6
m kann also nicht kleiner oder gleich 32 sein, 33 ist also das Minimum.
Da 2 ja 2 Diamanten entfernt wurden erhält man dann, dass 31 Finanzen die kleinstmögliche Anzahl ist (wenn man eine Belegung findet, die das erfüllt)
Ich habe es ausgelassen, weil es es ziemlich klar sein sollte.
Die anderen Diamanten müssen zusammen einen Bestimmten Wert besitzen, damit die Gleichheit gilt. Je wertvoller die Diamanten sind, desto weniger kann man benutzen um den Wert zu erreichen.
Das müsste man ausführlich begründen.