sin^4 x + cos^4 x = 2/3 alle lösungen zwischen 0 und 360 Grad?
Lösungsweg zu Mathematikaufgabe gesucht
2 Antworten
Aus 1 = sin^2(x) + cos^2(x) folgt durch quadrieren:
1 = sin^4(x) + 2 * sin^2(x) * cos^2(x) + cos^4(x), also
1 = 2/3 + 2 * sin^2(x) * cos^2(x), jetzt 2/3 auf die andere Seite und alles mal 2 ergibt:
2/3 = 4 * sin^2(x) * cos^2(x)
=> 2/3 = (2 * sin(x) * cos(x))^2.
Der rechte Term in der Klammer ist nach dem Additionstheorem für Sinus einfach sin(2x), also:
2/3 = sin^2(2x), also:
w(2/3) = sin(2x) oder -w(2/3) = sin(2x).
Die vier Lösungen sind dann (Im Gradmaß!)
x1 = 1/2 * arcsin(w(2/3)).
x2 = 180 - 1/2 * arcsin(w(2/3)).
x3 = 1/2 * arcsin(-w(2/3)) (bzw. 360-den Wert) und
x4 = 180 - 1/2 * arcsin(-w(2/3)).
versuchs mal hiermit: sin²+cos²=1 und sin²=1-cos² und sin^4=(1-cos²)²=1-2cos²+cos^4=2/3 und einsetzen ergibt 2cos^4-2cos²=-1/3 und substitution cos²=u und cos^4=u² und u²-u +1/6=0 und pq-formel und dann nochmal wurzel wegen substitution und dann shift cos und ggf auf rad stellen und wenn du einen winkel hast, kannst du die anderen am Einheitskreis suchen; gruß ej