Wie vereinfache ich cos(x)*cos(2x)-sin(x)*sin(2x)=0?

3 Antworten

Hallo,

genau.

Dann mach doch mit diesen Identitäten einfach weiter:

cos (2x)=cos²(x)-sin²(x)

Was ergibt dann cos (x)*cos(2x)?

sin (2x)=2sin(x)cos(x)

Was ergibt dann sin(x)*sin(2x)?

Danach gleiche Terme zusammenfassen, gleiche Faktoren kürzen und 

die Tatsache, daß sin²(x)+cos²(x)=1 ausnutzen.

Wenn Du Probleme bekommst,

melde Dich noch mal.

Zur Kontrolle:

Am Ende bekommst Du sin(x)=1/2

Herzliche Grüße,

Willy

Hab schon alles eingesetzt halt, kriege aber nix zusammengenommen, das wäre das Problem dabei. Aber ich versuche es weiter.. Danke trotzdem

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@GertPott

Dabei hast Du so gut angefangen:

cos(x)*cos²(x)-cos(x)*sin²(x)-2sin²(x)*cos(x)=0

cos(x) ausklammern:

cos(x)*(cos²(x)-sin²(x)-2sin²(x))=0

Durch cos(x) teilen unter der Voraussetzung, daß cos(x) ungleich Null:

cos²(x)-sin²(x)-2sin²(x)=0

Nun cos²(x) durch 1-sin²(x) ersetzen.

Kommst Du nun weiter?

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@Willy1729

Habe 1-sin²(x) - sin²(x)-2sin²(x) =0 . Hier weiß ich nicht genau, welcher Schritt jetzt kommen soll zum zusammen fassen. Sind ja alles sin². Aber die 1- und -2 stören mich. Sorry..

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@GertPott

-1 Kartoffel-1Kartoffel-2 Kartoffeln=-4 Kartoffeln.

Daher:

1-4sin²(x)=0

4sin²(x)=1

sin²(x)=1/4

Wurzel ziehen:

sin(x)=1/2

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@Willy1729

Man ich bin so doof.. aber vielen Dank. Nächstes mal wird mir sowas direkt auffallen.

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Ich würde vorschlagen, diese Gleichung zunächst in eine Gleichung für die Hilfsvariable

t := tan(x)

zu überführen. Dabei leistet die Doppelwinkelformel für die Tangensfunktion wertvolle Dienste !

Man könnte hier ein Additionstheorem erkennen:

cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

Für a = x und b = 2x erhält man:

cos(x + 2x) = cos(x) * cos(2x) - sin(x) * sin(2x)

Daher kann man die linke Seite der Gleichung zu cos(x + 2x) bzw. cos(3x) vereinfachen, so dass also die Gleichung

cos(3x) = 0

zu lösen ist.

Dies ist genau dann der Fall, wenn

3x = pi/2 + k * pi

für eine ganze Zahl k ist.

Daher sind die Lösungen der Gleichung gegeben durch

x = pi/6 + k * pi/3

für ganze Zahlen k.

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