Wie vereinfache ich cos(x)*cos(2x)-sin(x)*sin(2x)=0?
Habe folgende Beziehungen rausgesucht:
sin(2x)=2sin(x)cos(x)
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)
sin²(x)+cos²(x)=1
3 Antworten
Hallo,
genau.
Dann mach doch mit diesen Identitäten einfach weiter:
cos (2x)=cos²(x)-sin²(x)
Was ergibt dann cos (x)*cos(2x)?
sin (2x)=2sin(x)cos(x)
Was ergibt dann sin(x)*sin(2x)?
Danach gleiche Terme zusammenfassen, gleiche Faktoren kürzen und
die Tatsache, daß sin²(x)+cos²(x)=1 ausnutzen.
Wenn Du Probleme bekommst,
melde Dich noch mal.
Zur Kontrolle:
Am Ende bekommst Du sin(x)=1/2
Herzliche Grüße,
Willy
Dabei hast Du so gut angefangen:
cos(x)*cos²(x)-cos(x)*sin²(x)-2sin²(x)*cos(x)=0
cos(x) ausklammern:
cos(x)*(cos²(x)-sin²(x)-2sin²(x))=0
Durch cos(x) teilen unter der Voraussetzung, daß cos(x) ungleich Null:
cos²(x)-sin²(x)-2sin²(x)=0
Nun cos²(x) durch 1-sin²(x) ersetzen.
Kommst Du nun weiter?
Habe 1-sin²(x) - sin²(x)-2sin²(x) =0 . Hier weiß ich nicht genau, welcher Schritt jetzt kommen soll zum zusammen fassen. Sind ja alles sin². Aber die 1- und -2 stören mich. Sorry..
Man ich bin so doof.. aber vielen Dank. Nächstes mal wird mir sowas direkt auffallen.
Man könnte hier ein Additionstheorem erkennen:
cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)
Für a = x und b = 2x erhält man:
cos(x + 2x) = cos(x) * cos(2x) - sin(x) * sin(2x)
Daher kann man die linke Seite der Gleichung zu cos(x + 2x) bzw. cos(3x) vereinfachen, so dass also die Gleichung
cos(3x) = 0
zu lösen ist.
Dies ist genau dann der Fall, wenn
3x = pi/2 + k * pi
für eine ganze Zahl k ist.
Daher sind die Lösungen der Gleichung gegeben durch
x = pi/6 + k * pi/3
für ganze Zahlen k.
Ich würde vorschlagen, diese Gleichung zunächst in eine Gleichung für die Hilfsvariable
t := tan(x)
zu überführen. Dabei leistet die Doppelwinkelformel für die Tangensfunktion wertvolle Dienste !
Hab schon alles eingesetzt halt, kriege aber nix zusammengenommen, das wäre das Problem dabei. Aber ich versuche es weiter.. Danke trotzdem