Fourier Reihe sin x cos x?

Was ist die Lösung zu f(x) = sin x cos x

Answer 1

[DerRoll]

Hier

https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=73455&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

wurde eine ähnliche Aufgabe behandelt. Aber was wäre denn deine Rechnung dazu?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 2

[CustomSky]

Meinst du das so?

Es gilt:

$\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot\sin\left(2x\right)$

und

$\sin\left(x\right)=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$

Dann nur noch einsetzen.

$\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)=\frac{2x}{2\cdot1!}-\frac{\left(2x\right)^3}{2\cdot3!}+\frac{\left(2x\right)^5}{2\cdot5!}-\frac{\left(2x\right)^7}{2\cdot7!}+...$

Comments

[DerRoll]

Das ist die Potenzreihen-Entwicklung, d.h. die Entwicklung in eine algebraische Reihe. Eine Fourierreihe ist eine trigonometrische Reihe. Für die Fourierreihe müßen die Fourierkoeffizienten

an = integral f(x)cos(nx)dx/pi in den Grenzen von -pi bis pi

und

bn = integral f(x)sin(nx)dx/pi in den Grenzen von -pi bis pi

berechnet und dann zu

a0/2 + summe(ancos(nx) + bnsin(nx))

aufsummiert werden. Die Frage ob diese Reihe in jedem Punkt gegen f(x) konvergiert, und wenn ja ob punktweise oder gleichmäßig, ist ein "klein wenig" komplizierter zu beantworten als die selbe Frage für Potenzreihen :-).

Answer 3

[mihisu]

Die Fourierreihe zu f(x) = sin(x) ⋅ cos(x) ist duch

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot\sin\left(2x\right)$

bzw.

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}\text{i}\cdot\text{e}^{-2\text{i}x}-\frac{1}{4}\text{i}\cdot\text{e}^{2\text{i}x}\$

gegeben. (Je nachdem, ob man das Ergebnis mit komplexer Exponentialfunktion oder mit Sinus und Kosinus dargestellt haben möchte.)