Mathematik?
Vom Dach eines 28 m hohen Hauses sieht man das untere Ende eines Mastes unter dem Tiefenwinkel alpha = 18 und das obere Ende des Mastes unter dem Tiefenwinkel beta = 16 Mast und Haus befinden sich in derselben Vertikalebene. Berechne die Höhe des Mastes:
Ich versteh das Beispiel nicht
5 Antworten
Um die Höhe des Mastes zu berechnen, musst du die Tangensfunktion für die Winkel Alpha (18°) und Beta (16°) sowie die Höhe des 28 Meter hohen Hauses verwenden.
Die Entfernung zum unteren Ende des Mastes beträgt etwa 86,14 Meter, zum oberen Ende des Mastes etwa 97,36 Meter. Die Differenz zwischen diesen Entfernungen ergibt eine Masthöhe von ungefähr 11,22 Metern.
Das ist falsch. Die schrägen Linien einfach voneinander abzuziehen ergibt nicht die Höhe des Mastes. Die Masthöhe lässt sich nämlich nicht in den Längen der schrägen Linien finden. Das sollte bei einer Skizze klar werden. Scroll gerne runter für ein paar Skizzen anderer User und mir.
Ich stell mir das vor wie im untenstehenden Bild.
x = h2 / tan(α)
x = 28 / tan(18)
x = 86,175139 m
---
y = x * tan(β)
y = 86,175139 * tan(16)
y = 24,710323 m
---
h = h2 - y
h = 28 - 24,710323
h = 3,29 m
Der Mast hätte 3,29 m.
Hier eine lieblose Skizze anhand der ich dir das erkläre:
Es gibt mehrere Wege, die dich hier zum Ziel führen. Ich zeige dir einen davon. Der Trick besteht hier darin durch Ausnutzung geeigneter geometrischer Eigenschaften und Zusammenhänge von im Bild links nach rechts zu kommen. Was das bedeuten soll wird dir gleich hoffentlich klar.
Die Höhe des Hauses ist links in meiner Skizze mit h gekennzeichnet. Diese ist mit 28 m in der Aufgabenstellung gegeben.
Gesucht ist die Höhe der Laterne, welche ich rechts mit der Länge m gekennzeichnet habe.
Obendrein sind zwei Winkel Alpha und Beta gegeben, die ich wie oben eingezeichnet habe. Da es sich um Tiefenwinkel handelt, welche vom Blickpunkt des Daches ausgehen, sind diese Winkel zu einer Geraden bezogen, welche parallel zum Boden, also horizontal vom Blickpunkt aus verläuft. Das ist die obere waagerechte gestrichelte Linie. Der Blickpunkt ist oben links. Die beiden schrägen Linien an den Winkeln enden am oberen bzw. unteren Ende des Laternenmasts.
Da davon auszugehen ist, dass das Haus und der Mast parallel zueinander sind, kann man bei dieser Veranschaulichung auf die Idee kommen, dass die Länge des Mastes die Länge des Hauses abzüglich einer gewissen Länge ist, welche ich in der Skizze s genannt habe.
Also m = h - s .
Nun muss man herausfinden wie lang s ist.
Dafür wäre es praktisch das Dreieck zu nutzen, das vom Winkel Beta aufgespannt wird. Dann kann man s nämlich Mithilfe der Tangensfunktion darstellen. Vielleicht kennst du den Tangens ja schon.
Zur Erinnerung:
tan(x) = sin(x) / cos(x) = Gegenkathete / Ankathethe zum Winkel x.
Unser Winkel ist Beta. Die Gegenkathete ist unser gesuchtes s und die Ankathethe ist der Teil der gestrichelten waagerechten Linie oben zwischen h und s.
Also:
tan(Beta) = s / a,
was sich umformen lässt zu:
s = a * tan(Beta)
Nun haben wir wieder etwas Unbekanntes. Nämlich a. Aber diese Länge lässt sich wiederfinden: Sie ist die selbe Länge wie die Länge am Boden zwischen h und m. Ich habe das in der Skizze gelb hervorgehoben.
Ähnlich wie zuvor, kann man a über den Tangens darstellen, und zwar als:
tan(Gamma) = a / h
<=> a = h * tan(Gamma) .
Die Länge h haben wir gegeben, bleibt noch Gamma.
Wenn du dir oben den eingezeichneten Winkel Gamma ansiehst und auch Alpha im Blick hast, kann man erkennen, dass diese einen rechten Winkel zusammen bilden. Das ist nicht nur ein Zufall aus der Skizze, sondern ergibt sich daraus, das die horizontale gestrichelte Linie senkrecht – also im rechten Winkel – zur Länge h steht.
Damit haben wir einen Ausdruck gefunden, mit dem sich Gamma darstellen lässt:
Gamma + Alpha = 90 °
<=> Gamma = 90° - Alpha .
Alpha ist mit 18 ° in der Aufgabenstellung gegeben.
Daraus ergibt sich:
Gamma = 72 ° .
Nun fällt alles wie eine Reihe Dominosteine zusammen und wir müssen unsere konkreten Werte nur noch in unsere gefundenen Ausdrücke einsetzen.
Mit Gamma = 72 ° und h = 28 m erhalten wir a als:
a = 28 m * tan(72°) was gerundet ungefähr 86,18 m ergibt.
Mit diesem Wert und Beta = 16° (aus der Aufgabenstellung) können wir oben weitermachen und s ermitteln:
s = 86,18 m * tan(16°)
Das ergibt ca. 24,71 m.
Als letzten Schritt müssen wir das nur noch in unserer Gleichung für die gesuchte Länge des Laternenmastes einsetzen und erhalten mit h = 28 m:
m = 28 m - 24,71 m = 3,29 m.
Die Laterne ist also ca. 3,29 Meter hoch.
Wenn noch etwas unklar ist, frag gerne nach. :)
Meiner Ansicht nach braucht man eh noch den Abstand von Haus zu Mast.
Hast du eine Skizze gemacht? Ohne Skizze kommst du da nicht weiter.
Und es fehlt noch eine weitere Angabe.