Wie berechnet man den Winkel in Grad mithilfe des Sinus Wert ohne Taschenrechner?
Mit dem Taschenrechner könnte ich einfach sin^-1(1) = 90° machen, doch ich habe mich immer gefragt, wie man nur anhand der Definition sin(alpha) = G/H
über G/H zurück auf den Winkel in Grad (hier jetzt mal nicht in rad) kommen kann, also wie die sinus Funktion wirklich berechnet wird.
Wurde ganz früher wirklich geometrisch G, H und der dazugehörige Winkel mit einem Geodreieck abgemessen und das dann in einer Tabelle protokolliert und später dann mit irgendwelchen Algorithmen in den Taschenrechner gefüttert?
3 Antworten
Man kann den Sinus in eine unendliche Reihe entwickeln.
https://de.wikipedia.org/wiki/Maclaurinsche_Reihe
Da man sich hier den Wolf rechnet (und dabei Fehler macht), ist man schon vor über 200 Jahren darauf gekommen, eine Maschine zu bauen, die sowas automatisch berechnet.
https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzmaschine
Damit hat man dann Funktionstabellen berechnet und ausgedruckt.
Ganz so einfach ist das nicht. Es ist zwar tan(45°) = tan(225°), denn da heben sich die Vorzeichen wirklich auf
Der Sinus ist am Einheitskreis praktisch die y-Koordinate. Der ist im ersten und zweiten Quadranten positiv und im dritten und vierten Quadranten negativ.
wie man nur anhand der Definition sin(alpha) = G/H über G/H zurück auf den Winkel in Grad (hier jetzt mal nicht in rad) kommen kann,
Kann man gar nicht. Nur in für wenige Fällen weiß man den jeweiligen Wert einer Winkelfunktion auswendig:
https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Wichtige_Funktionswerte
(Ich weiß davon aber auch nur den geringeren Teil auswendig).
Dann Frage ich mich, warum man früher dem Winkel nicht direkt den Wert G/H zugeordnet hat, also so das es niemals Grad oder rad gegeben hätte, dann könnte man sich doch sin() sparen und müsste nur ein Messinstrument haben was eben statt den Winkel in 360 teile (Geodreieck) einteilt halt G und H vermessen tut oder ist da ein Denkfehler drinnen?
warum man früher den Winkel nicht direkt dem Wert
Hat man doch. In Tabellenwerken steht der Winkel und der zugehörige "sin" davon. Und wenn Du G und H vermisst, berechnest Du das Verhältnis der beiden und schlägst nach, zu welchem Winkel das Verhältnis gehört. Dein Denkfehler scheint (ich bin da vorsichtig) zu sein, dass das Verhältnis G/H in der Tat identisch zum Sinus ist und nicht irgendwas anderes oder Neues ist. Sowohl "G" als auch "H" sind für sich einzeln genommen völlig ohne Bedeutung für den Winkel. Allein das Verhältnis der beiden zueinander bestimmt den Winkel. Wenn Du so willst, ist "Sinus" nur ein Kurzwort für "Verhältnis von Gegenkathete G zu Hypotenuse H" und sin(x) ist eine kurze Schreibweise für Faule.
Von einem höheren mathematischen Standpunkt aus betrachtet, hat die Sinusfunktion, wie alle anderen trigonometrischen Funktionen auch, allerdings eine von der "Geometrie" völlig unabhängige Bedeutung und kann auch völlig anders eingeführt werden, als das in der Schule passiert (soviel zu "dann könnte man sich doch sin() sparen").
Danke :-) also ich meinte eher warum es überhaupt dann die trigonometrischen Funktionen geben muss, wenn wir einen Winkel direkt als das Verhältnis G:H definieren, also alpha = G/H dann bräuchte man doch kein sin() was das Verhältnis von G:H zum Winkel in Grad/- Bogenmaß transformiert weil ° und rad ja dann total überflüssig währen oder nicht?
Gibt es Nachteile, wenn ich den Winkel definiere als G:H gegenüber L:R? Weil eben genau das Frage ich mich, wozu die Notwendigkeit die sin() Funktion einzuführen um sie auf die bekannten Definitionen des Winkels anzuwenden, wenn man doch direkt den Winkel als G:H statt L:R definieren könnte.
Obwohl, jetzt wo ich so nachdenke könnte man mit der Winkel Definition über G:H zum Beispiel nicht mehr 45° und 225° unterscheiden, weil beides 1:1 = 1 bzw. -1:(-1) = 1 ergäben.
Ja, letztendlich nicht aber man kann ja mal darüber nachdenken. In der Mathematik kann man immer irgendwelche Objekte neu definieren und schauen was damit passiert und welche Muster dabei entstehen, davon lebt die Mathematik.
(Ich weiß davon aber auch nur den geringeren Teil auswendig).
Das enttäuscht mich aber ;-)
Die im Bild angegebenen Werte kann man durchaus auswendig wissen. Man kann alle Winkel irgendwie in der ersten Quadranten befördern. Und dort gilt:
sin(0°) = 1/2 * Wurzel(0)
sin(30°) = 1/2 * Wurzel(1)
sin(45°) = 1/2 * Wurzel(2)
sin(60°) = 1/2 * Wurzel(3)
sin(90°) = 1/2 * Wurzel(4)
Ich finde die Definition über den Einheitskreis aussagekräftiger.
Danke :-) ich hätte gerade noch eine kleine Nebenfrage die sich mir gerade gestellt hat beim prüfen meiner Frage: ich hätte jetzt gedacht, dass sin(45°) = sin(225°) sein müsste, doch zu meinem erschrecken habe ich festgestellt, dass sin(225°) negativ ist... Warum? Bei sin(45°) = 1/1 und bei sin(225°) sollte es doch eigentlich -1/(-1) = +1 sein (3. Quadrant).