[Mathe] Hilfe benötigt beim Schnittpunkt bestimmen?
Guten Nachmittag,
ich benötige bei dieser Aufgabe noch etwas Hilfe. Ich weiß nicht, welchen Ansatz ich benutzen sollte, um den zweiten Schnittpunkt von f(x) und n(x) zu bestimmen. Es geht um die Aufgabe c).
Ich freue mich über eure Hilfe.
Berechnung + Nachfragen:
- Nun kommt ja nur noch ein Ergebnis für x als Schnittpunkt heraus, obwohl es zwei Schnittpunkte sind.
- Wieso weiß ich, dass genau das rausgekürzte „(x+1)“, also durch die Rechnung „|: (x+1)“, den Schnittpunkt, den wir schon haben, also P(-1|0), rausgekürzt hat?
- Wie kann ich das vorher feststellen?
- Ich habe ja nur noch ein Ergebnis obwohl es insgesamt zwei sind.
Bild vergessen (zu vorheriger Ergänzung):
2 Antworten
c) so sieht die Skizze aus:
Ansatz für n(x):
n(x) = ax + b
a ist die Steigung und die ist senkrecht zur Tangente in P
f'(-1) = (-1 -1)^2 * (-4 + 2) = -8
Für Senkrechten gilt:
a * f' = -1
a = -1/f' = 1/8
daher:
n(x) = 1/8 x + b
Punktprobe mit P:
0 = -1/8 + b
b = 1/8
Damit lautet die Normalemngleichung:
n(x) = x/8 + 1/8
Das schneiden wir mit f(x) durch Gleichsetzen:
x/8 + 1/8 = (x+1)*(x-1)^3
1/8(x + 1) = (x+1)*(x-1)^3
1/8 = (x-1)^3
.....der Rest hat sich erledigt.
Ergänzung zur Ergänzung:
Berechnung + Nachfragen:
Nun kommt ja nur noch ein Ergebnis für x als Schnittpunkt heraus, obwohl es zwei Schnittpunkte sind.
Wieso weiß ich, dass genau das rausgekürzte „(x+1)“, also durch die Rechnung „|: (x+1)“, den Schnittpunkt, den wir schon haben, also P(-1|0), rausgekürzt hat?
Wie kann ich das vorher feststellen?
Ich habe ja nur noch ein Ergebnis obwohl es insgesamt zwei sind.
Das sind sehr gute und völlig berechtigte Fragen.
Wir müssten tatsächlich mathematisch korrekt eine Fallunterscheidung machen, denn das Kürzen mit (x+1) ist ja für x = -1 eine Division durch 0, was nicht zulässig ist.
Daher müsste man korrekterweise ergänzen:
für x ≠ -1 kann gekürzt werden. Damit fällt auch der bekannte Schnittpunkt P aus der Gleichung heraus:
War das falsch?
Nein, aber völlig überflüssig und umständlich, da man ja einfach nur die 3. Wurzel ziehen kann.
Hast du einen Tipp wie man erkennen kann, dass man hier einfach nur 1/8 ausklammern muss? Ich habe es ja viel zu kompliziert versucht zu lösen… (hatte den alten Kommentar gerade erst bearbeitet und da hatte es bei dir bestimmt noch nicht aktualisiert)
Hast du einen Tipp wie man erkennen kann,
Genau hingucken...dann fällt das auf. Lieber länger nachdenken und kurz arbeiten. Das sind so typische Aufgaben aus dem Humorismus der Mathematiker. Bin ja mit der gelöschten weiteren Rechnung genauso drauf reingefallen.
Klammere direkt zu Beginn rechts 1/8 aus, und es geht easy-peasy weiter...
Kannst du mir dabei helfen? Ich weiß nicht genau wie man danach dann weitermachen kann 🤔
(x+1)(x-1)³=1/8x+1/8 |1/8 ausklammern
(x+1)(x-1)³=1/8(x+1) |:(x+1) und x<>-1 => erste Lösung x=-1
(x-1)³=1/8 |3.Wurzel ziehen
x-1=1/2 |+1
x=3/2
Sehr hilfreich und sehr easy, wenn man halt draufkommt. Hast du einen Tipp um sowas zu lernenden und nicht so wie ich hier zu rechnen? Mein Ansatz war ja nicht möglich zu lösen, oder? Also mit Formeln aus der Schule.
Es gibt da kein Patentrezept für: bevor man loslegt so einen Term komplett auszumultiplizieren, was ja schon der Horror ist und die Gleichung ja auch nicht vereinfacht, sollte man schauen, ob es nicht andere Wege gibt: hier hat sich halt schon allein wegen dem 1/8 in beiden Summanden das Ausklammern davon angeboten.
"Mathematisch 100%ig korrekt" bringst Du nach dem Ausklammern alles auf eine Seite, klammerst dann dieses (x+1) aus, und nutzt den Satz vom Nullprodukt, also (x+1)=0 oder (x-1)³-1/8=0, usw. Denn mein fettgedrucktes ist etwas unstrukturiert/unorganisiert hinten dran "geklatscht". Und man sollte auch generell lieber auf das Teilen durch einen variablen Wert verzichten, weil, wenn man es nicht erkennt, man eine Lösung verliert! Ohne Beachtung meines fettgedruckten kommst Du ja nur auf x=3/2, was aber bekanntlich nicht die einzige Lösung ist...
Und man sollte auch generell lieber auf das Teilen durch einen variablen Wert verzichten, weil, wenn man es nicht erkennt, man eine Lösung verliert!
War das teilen durch einen variablen Wert hierbei |: (x+1)?
Dann verschwindet doch automatisch ein Ergebnis, oder?
Ohne Beachtung meines fettgedruckten kommst Du ja nur auf x=3/2, was aber bekanntlich nicht die einzige Lösung ist...
Das verstehe ich noch nicht ganz genau, was du da gemacht hast beim fett gedruckten.
und x<>-1 => erste Lösung x=-1
Kannst du mir das bitte nochmal ganz genau erklären? Wie weiß ich, dass x <> -1 ist?
Aber x dürfte doch -1 sein, oder? Also das x, was wir rauskürzen. Wir brauchen doch nicht den Wert x = -1, sondern die x-Koordinate von Q.
Dieses "und x≠-1" ist die Bedingung dafür, dass hier durch (x+1) geteilt werden darf. D. h. dessen Nullstelle, also x=-1 muss separat geprüft werden und stellt sich ja auch als weitere Lösung heraus, die halt hier durch das Teilen quasi "weggekürzt" wird!
Daher auch meine nachträglich "verbesserte" Version, nämlich besser alles auf eine Seite bringen, hier dann (x+1) ausklammern und dann das Produkt in seine Faktoren splitten und jeden Faktor für sich aufgrund des Satzes vom Nullprodukt gleich Null setzen, statt durch variable Faktoren zu teilen, denn dadurch geht hier das x als Lösung verloren, bei dem der Divisor Null wird (daher müsste man diese Tatsache durch die komplette Rechnung mit berücksichtigen, daher habe ich es aufgrund der Wichtigkeit fett gedruckt.
Gerade ist etwas verschwunden^^ „Eine Nullstelle kennen wir schon, die dividieren wir durch Polinomdivision“. War das falsch?
Hast du einen Tipp wie man erkennen kann, dass man hier einfach nur 1/8 ausklammern muss? Ich habe es ja viel zu kompliziert versucht zu lösen…