Kombinatorik Wie viele neunstellige Zahlen gibt es, die genau dreimal die Ziffer 4 enthalten?
Hallo zusammen,
wisst ihr wie ich die Aufgabe oben lösen kann? Ich denke dass es eine Frage aus der Kombinatorik ist aber ich weiß nicht genau was für ein Fall das ist.
2 Antworten
Es geht nur um die drei Stellen der Vieren in der Zahl: Für die erste hast Du 9 Möglichkeiten, für die zweite jeweils 8, für die dritte jeweils 7. Also 9!/6!.
Das ist aber nicht frei von Wiederholungen, da sich die Vieren nicht unterscheiden. Mit diesen drei Vieren gibt es jeweils 3! identisch, also
9!/(6!*3!)=9!/(3!*(9-3)!)=9 über 3
die restlichen Zahlen stammen aus 1-3,5-0 mit Ausnahme der ersten Ziffer, hier keine 0.
Teile es aber auf: Vorne steht die vier und dann 8 über 2 mit den übrigen 6 Stellen von 0 bis 9 ohne vier und dann plus sieben mal ohne vier vorne, also 8 über drei mit 0 bis 9 ohne 4 für die übrigen 5 Zahlen
Die übrigen Zahlen: 9 bzw. 8 hoch freie Stellen.
im Ergebnis: 8ü2 * 9^6 + 8ü3 * 8 * 9^5
kann man verkürzen, etwa 9^5 und 8! ausklammern
Erläuterung:
Fall 1: Die 4 ist vorne. Dann haben wir noch 8 Ziffern, zwei werden mit der vier belegt. Für die Belegung zweier Stellen aus 8 Ziffern mit 2 identischen Zahlen (also Reihenfolge egal) gibt es 8 über 2 Möglichkeiten. Es gibt dann immer noch 6 freie Stellen, welche mit Zahlen von 0-9 ohne die 4 befüllt werden können. Das sind also für 6 Stellen 9 verschiedene Möglichkeiten, damit 9 hoch 6. Also 8ü2 * 9^6.
Fall 2: Die 4 ist nicht vorne. Dann gibt es noch 8 Ziffern, drei werden mit der vier belegt, das ist - mit derselben Begründung wie oben - 8 über 3. Für die erste Ziffer gibt es 8 Möglichkeiten (1,2,3,5,6,7,8,9), für die übrigen 5 Stellen gibt es 9 Möglichkeiten (0-9 ohne die 4). Also ist 8 über 3 zu multiplzieren (für die Auswahl der 4er-Stellen) mal 8 (für die erste Ziffer) mal 9^5 (für die verbleibenden 5 Stellen, welche mit 0-9 ohne 4 befüllt werden kann).
Diese 8 ist einfach (9-1), da für die erste Stelle die 0 nicht geht. Am Anfang 8 über 2 und nicht über 3, da die erste Stelle mit der 4 besetzt ist und nur zwei Vieren bleiben. Diese Darstellung ist etwas symmetrischer:
Wenn die 4 vorne ist, habe ich statt 3 nur noch 2 Vieren hinten, wenn die 4 nicht vorne ist, habe ich drei Vieren hinten, aber nur noch 6-1 = 5 Stellen hinten (für die erste Ziffer dann die 8)
Das was du geschrieben hast stimmt mit der offiziellen Lösung überein, aber ich verstehe den Rechenweg nicht, könntest du nochmal drauf eingehen?
Hallo,
Du mußt zwei Fälle betrachten:
Die erste Ziffer ist eine 4;
die erste Ziffer ist eine Ziffer von 1 bis 9 ohne die 4.
Fall 1:
Schema 4x44xxxxx, wobei sich die beiden restlichen Vieren auf 8 über 2 Arten auf die restlichen acht Stellen verteilen dürfen.
Für jedes x kann eine von neun Ziffern stehen, nämlich alle Ziffern ohne die 4.
Das ergibt 9^6*(8 über 2)=14.880.348
Fall 2: Vorn steht einne Ziffer von 1 bis 9 ohne 4. Die drei Vieren verteilen sich auf die acht übrigen Stellen, die anderen fünf Stellen sind Ziffern von 0 bis 9 ohne 4.
Schema yxx444xxx, wobei für y acht Ziffern in Frage kommen, für x neun. Die Vieren können sich beliebig auf die acht hinteren Stellen verteilen.
Daher 8*9^5*(8 über 3)=26.453.952.
Ergibt zusammen 41.334.300 verschiedene neunstellige Zahlen.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich hätte gesagt 8ü2 * 9^6 + 8ü3 * 8 * 9^5 (da von 10 möglichen Ziffern jeweils nur eine (4) oder zwei (0,4) nicht zulässig sind).