Kann eine Fläche unendlich groß sein?:D

10 Antworten

Der Irrtum deinerseits besteht darin, dass du annimmst, dass nur weil der Definitionsbereich für x unendlich ist, auch das Integral entsprechend unendlich groß ist.

Ich weiß nicht, ob du dich in der Schule bereits mit uneigentlichen Integralen auseinandergesetzt hast, aber Flächen, deren eine Grenze sich x= unendlich nähert, können auch einen endlichen Wert haben. (Dadurch dass das x immer kleiner wird, hat es im Endeffekt irgendwann mal kaum mehr Auswirkung auf das Integral)

"kaum mehr Auswirkung"

(kann heut irgendwie nicht die "Zitatfunktion" nutzen?)

Aber genau da liegt mein Problem...Kaum ist nicht "0"

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Wir hatten noch garkeine Integrale, nur im Physik Leistungskurz obeflächlich:D

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Um bei x und y zu bleiben, sobald x im gleichen Maße kleiner wird, wie y größer wird, ist die Fläche unter dem Graph endlich.

Gut erkannt. Alleine die Tatsache, daß Deine Funktion gegen 0 konvergiert ist hinreichendes und notwendiges Kriterium für eine endliche Fläche unter dem Funktionsgraphen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium

Du befindest Dich auf dem direktem Wege zu tiefen mathematischen Erkenntissen ;-)

 "Alleine die Tatsache, daß Deine Funktion gegen 0 konvergiert ist hinreichendes und notwendiges Kriterium für eine endliche Fläche unter dem Funktionsgraphen." Da irrst du dich. 

Im Wikipedia-Artikel steht es richtig drin - nicht die Funktion muss konvergieren, sondern die Summe über Stützstellen. 

1/x z. B. konvergiert gegen Null, das Integral von 1 bis unendlich aber nicht: 

Int von 1 bis unendlich 1/x = [ln x] von 1 bis unendlich = ln unendlich - ln 1 = ln unendlich

Und ln unendlich konvergiert nicht. 

Es kommt nicht nur darauf an, dass f(x) gegen Null geht, es kommt drauf an, wie "schnell" das passiert. 

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Die Fläche KANN unendlich groß sein, sie KANN aber auch endlich groß sein.

Beispiel: die Flächen unter y=1/x^2 und die Fläche unter y=1/x^(1/2) von x=1 bis x=unendlich bzw. von x=1 bis x=0

Woher ich das weiß:Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Wenn x niemals 0 erreicht, streckt sich y ins unendliche. Damit muss die Fläche auch unendlich sein, oder nicht?

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@Maisbaer78

Nicht unbedingt.

Was passiert z. B. bei folgendem:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

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@PWolff

Ah ich verstehe, es wird niemals größer als 2 sein, jedoch werden die Nachkommastellen unendlich lang sein, oder nicht? Vielleicht war mein Verständnis von "Unendlichkeit" einfach nur falsch. Mir fehlte nur die logische Übertragbarkeit auf reale Gegebenheiten, welche ich irgendwie brauche um so abstrakte Zusammenhänge wirklich verstehen zu können (der einfache Geist zählt eben mit den Fingern), aber ich hab mir jetzt dazu etwas überlegt.  Um bei x und y zu bleiben, sobald x im gleichen Maße kleiner wird, wie y größer wird, ist die Fläche unter dem Graph endlich.

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@Maisbaer78

Um bei x und y zu bleiben, sobald x im gleichen Maße kleiner wird, wie y größer wird, ist die Fläche unter dem Graph endlich.

Dass ist äußerst, äußerst, äußerst unglücklich ausgedrückt, wenn nicht schon grob falsch. 

Für y = -x kann man wohl sagen, dass y in dem gleichen Maße kleiner wird wie x größer wird und andersherum oder? Aber ich denke das ist nicht was du meintest.

Wenn du eine Funktion der Form f(x) = 1/(x^a) hast, dann ist der Flächeninhalt von 1 bis unendlich genau dann endlich, wenn a > 1.

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@nutzer131

Doch genau das meinte ich, denn sonst hätte man einen linearen Graph, oder nicht?

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Genau solche Paradoxen entstehen, wenn man theoretische Mathematik und Praxis miteinander vermischt: 

http://de.wikipedia.org/wiki/Gabriels_Horn  

Natürlich kann eine Fläche theoretisch unendlich groß werden, wenn man sich eine Raum-Dimension unendlich denkt. Dabei kann das Volumen sogar begrenzt sein. Leute, die die Grenzen der Praxis (Atomgröße; Plancksche Einheiten usw.) ignorieren, haben sich so einen theoretischen Körper gebastelt, der nur endlich viel Farbe aufnehmen kann (V=Pi ) aber selbst eine unendlich große Oberfläche besitzt.

Physiker lachen nur darüber, denn schon nach weniger als 200m ist dieses "Horn" dünner als Atome...

Bei Deinen Überlegungen ignorierst Du viele Gesetze:

- Energieerhaltungs-Satz: erst muss was rein, damit was rauskommen kann  

- Länge: es gibt nur 10^80 Atome im Weltall -> also Begrenzung

- Widerstand: selbst mit Supra-Leitern würde bei extremen Längen R extrem ansteigen-> da fließt nie Strom rein...

die 200 m hatte ich noch von einer anderen Aufgabe mit anderen Einheiten im Kopf.

Korrektur: bei Einheit Meter wären das 10^10 m =14 Sonnen-Radien=7 Sonnendurchmesser Entfernung

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Wenn die Annäherung an 0 asymptotisch ist, ist der Wert immer unendlich.

Allerdings wird die Annäherung immer kleiner, was bedeutet das es nach Maßstäben unserer Technologie und Wahrnehmung irgendwann praktisch 0 ist, auch wenn die Mathematik zeigt, dass es eben nicht 0 sein kann.

Aber wen sie nicht 0 sein kann, dan ist ja auch die Energie unendlich groß?:D

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@ThEaNdY

Mh bin in Elektrotechnik nicht so bewandert, tappe also ein wenig im Dunkeln, worauf du hinaus willst. Aber bei Energie kann ja nur das durchgehen, was auch vorhanden ist. Die Mathematik gibt nur eine Grenze vor (oder wie in dem Fall eben auch nicht) aber es gibt noch andere begrenzende Faktoren.

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Falsch. Siehe Post von PWolf

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@W00dp3ckr

Verstehe auch nicht viel von Mathematik, aber die Logik sagt mir, das bei einer unendlichen Ausdehnung einer Kantenlänge die Fläche ebenfalls unendlich sein muss.  Verstehe den Zusammenhang nicht, vielleicht wäre ein Bild aussagekräftig um das zu verinnerlichen?

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@Maisbaer78

Zeichne ein Koordinatensystem. Wir brauchen zunächst den Bereich 0<=x<=1 und 0<=y<=1.

Zeichne die Strecke zwischen den Punkten (1|0) und (0|1) ein.

Du hast jetzt ein offensichtlich endliches Dreieck.

Zeichne in das Dreieck das Quadrat mit der Seitenlänge 1/2 ein, das eine Ecke im Ursprung hat. Die gegenüberliegende Ecke des Quadrates berührt die schräge Linie.

Zeichne in das rechte Teildreieck (rechts neben diesem Quadrat) das Quadrat mit der Seitenlänge 1/4 ein, das links an das erste Quadrat stößt und wieder eine Ecke auf der schrägen Linie hat.

Zeichne ein drittes Quadrat mit der Seitenlänge 1/8 in das jetzt rechts liegende Teildreieck ein.

Usw.

Du erhältst unendlich viele Quadrate, die aber zusammen einen endlichen Flächeninhalt haben, da sie ja alle zusammen in dem Dreieck liegen.

Aber die Quadrate liegen alle in einem beschränkten Bereich. Deshalb sind sie nicht ohne weiteres brauchbar für das Argument.

Deshalb teilen wir die Quadrate jetzt.

Das Quadrat mit der Seitenlänge 1/2 lassen wir ganz.

Das Quadrat mit der Seitenlänge 1/4 teilen wir mit einem waagerechten Schnitt in zwei Rechtecke.

Das Quadrat mit der Seitenlänge 1/8 teilen wir mit 3 waagerechten Schnitten in 4 Rechtecke.

Das Quadrat mit der Seitenlänge 1/16 teilen wir mit waagerechten Schnitten in 8 Rechtecke.

Usw.

Jetzt legen wir die einzelnen Teile um.

Das Quadrat mit der Seitenlänge 1/2 lassen wir, wo es ist.

Rechts daneben legen wir eins der beiden Teile des Quadrates mit der Seitenlänge 1/4, und zwar so, dass es mit der Längsseite die x-Achse und mit der kurzen Seite das Quadrat mit der Seitenlänge 1/2 berührt.

Rechts daneben legen wir das andere Teilrechteck des Quadrats mit der Seitenlänge 1/4, ebenfalls auf die x-Achse.

Die Teile des Quadrats mit der Seitenlänge 1/4 belegen zusammen auf der x-Achse eine Strecke von 1/2.

Rechts neben das 2. Teilstück des Quadrates mit der Seitenlänge 1/4 legen wir ein Teilrechteck des Quadrates mit der Seitenlänge 1/8, und zwar wieder auf die x-Achse. Rechts daneben ein zweites Teilstück des Quadrates mit der Seitenlänge 1/8, rechts daneben ein drittes, und rechts daneben das vierte.

Die vier Teilstücke des Quadrates mit der Seitenlänge 1/8 belegen zusammen auf der x-Achse eine Strecke von 1/2.

Für jedes weitere Quadrat legen wir die Teilrechtecke wieder rechts neben das zuletzt hingelegte Teilrechteck auf die x-Achse. Die Teilstücke jedes Quadrates belegen auf der x-Achse eine Strecke von 1/2.

Damit haben wir den gesamten rechten Teil der x-Achse mit Rechtecken belegt. Die Rechtecke bilden also eine Fläche, die nach rechts unbeschränkt (unendlich) ist.

Da die Rechtecke aber alle ursprünglich innerhalb des ersten endlichen Dreieckes gelegen haben, hat die Fläche, die die Rechtecke bilden, einen endlichen Flächeninhalt.

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@PWolff

Ja ich erinnere mich, sowas mal in der Schule (lang ist es her) kennengelernt zu haben, die Fläche ist zwar endlich, aber der genaue Flächeninhalt lässt sich nicht bestimmen, nicht wahr? Es ist eine endliche Fläche, aber stehts nur ein Näherungswert, so richtig?

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@Maisbaer78

Nein, genauso wie bei anderen Grenzübergängen auch lässt sich die Fläche exakt bestimmen. Das ist der Witz bei Grenzwertbetrachtungen. Man kann also so eine Fläche haben mit unendlichen Begrenzungen, wie du das verstehts - die aber schlicht die Fläche 1 hat, und zwar nicht näherungsweise, sondern wirklich. 

Nur zeichnen kann man das natürlich nicht exakt, da man das Bild ins Unendliche ausdehnen müsste :-)) - das geht nur näherungsweise, wobei "näherungsweise" bei unendlich natürlich ein schräger Ausdruck ist. 

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@FataMorgana2010

Das verstehe ich aber wiederum nicht. Die Fläche unter einem Graph ist doch nie komplett mit geradlinigen geometrischen Formen (Dreiecke, Rechtecke) auszufüllen, es sei denn, er ist eine Gerade. Er ist aber eine Asymptote.

Die Berechnung 1+1/2+1/4.... ist doch auch unendlich, es lässt sich immernoch ein kleinerer Bruchteil dazu addieren, die Stellen nach dem Komma müssten ins Unendliche reichen, die "Auflösung" des Ergebnisses sollte unbegrenzt klein sein.

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@Maisbaer78

Es sind unendlich viele Terme, es kommt  also immer noch etwas dazu. Insofern ist es unendlich.

Man kann aber eine obere Schranke angeben, die nie überschritten wird. Und man kann sogar einen Grenzwert angeben, dem die endlichen Teilsummen immer näher kommen, ohne ihn zu erreichen, aber die Differenz kann man so klein machen wie man will.

Die Sache mit den Rechtecken war in erster Linie zur Illustration gedacht.

Man kann zu einem asymptotischen Graphen natürlich auch eine "obere Annäherung" durch Rechtecke konstruieren, hier laufen die oberen Begrenzungslinien der Rechtecke vollständig oberhalb des Graphen statt vollständig unterhalb.

Wenn alle Rechtecke der "unteren Rechteckfüllung" den Funktionsgraphen mit ihrer rechten oberen Ecke berühren und alle Rechtecke der "oberen Rechteckfüllung" mit ihrer linken oberen Ecke, und diese Rechtecke alle die gleiche Breite haben, kann man die eine "Rechteckfüllung" in die andere überführen, indem man alle Rechtecke um eine Rechteckbreite in die eine oder andere Richtung verschiebt. Die "Rechteckfülllungen" unterscheiden sich also nur um die Fläche des ersten Rechtecks. Wenn also eine "konvergiert" (einen Grenzwert hat), so auch die andere und auch der Funktionsgraph, und umgekehrt.

Übrigens definiert man den Flächeninhalt solcher unendlicher Flächen durch diese Grenzwerte. Dies ist die einzige Möglichkeit, wie sich "vernünftige" Flächeninhalte ergeben (Gesamtfläche = Summe der Teilflächen), außerdem ergeben sich auf diese Weise dieselben Ergebnisse, ob man eine beschränkte Fläche direkt oder mit Grenzwertverfahren ausrechnet.

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@PWolff

Man kann aber eine obere Schranke angeben, die nie überschritten wird. Und man kann sogar einen Grenzwert angeben, dem die endlichen Teilsummen immer näher kommen, ohne ihn zu erreichen, aber die Differenz kann man so klein machen wie man will.

Ja aber das ist ja genau das, was ich in meinem letzten Beitrag meinte, es gibt nur Näherungswerte. Ich kann sagen, 1+1/2+1/4... wird nie größer als 2 sein, aber die Nachkommastellen sind unendlich, was die Berechnung eines absoluten Flächeninhaltes unmöglich machen muss. Also doch nur ein "ungefähr".

Das praktisch irgendwann eine Beschneidung auf eine bestimmte Kommastelle stattfindet, heisst nicht, dass dies auch das exakte Ergebnis ist. Somit ist offensichtlich auch in der Mathematik gängig, was in der Praxis üblich ist.

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