Volumen zwischen zwei Funktionen berechnen?

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4 Antworten

Hallo,

24*π FE³ ist die korrekte Lösung.

Du bildest zunächst die Differenzfunktion aus f(x) und g(x):

h(x)=x²-4+2x²-8=3x²-12

Nun bildest Du die Umkehrfunktion, weil die Formel für das Rotationsvolumen nur für die Rotation um die x-Achse gilt, nicht für die Rotation um die y-Achse.

Du vertauschst also x und y und löst nach y auf:

x=3y²-12

3y²=x+12

y²=x/3+4

Die Wurzel ziehst Du jetzt nicht, weil Du für die Formel ohnehin (f(x))² brauchst, dann paßt y² ja hervorragend.

V=π·∫(x/3+4)=π·x²/6+4x

Nun mußt Du nur noch die Integrationsgrenzen feststellen.

Die Nullstellen von h(x) liegen bei 2 und -2 (das sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte von f(x) und g(x). 

Weil Du es aber mit der Umkehrfunktion zu tun hast, ist die Geschichte um 90° nach rechts gekippt, Du mußt also berechnen, wo die Umkehrfunktion die beiden Achsen schneidet.

Die Umkehrfunktion ist y=√(x/3+4)

Diese wird Null bei x=-12 und schneidet die y-Achse bei 2.

Du mußt also von -12 bis 0 integrieren.

Für x=0 wird π·x²/6+4x auch 0, für x=-12 bekommst Du π*|24-48|=24π

Genau dieses Ergebnis steht auch in Deiner Lösung.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Kazooh
06.06.2016, 19:58

Endlich verstehe ich es, Danke!! :-)

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Kommentar von Willy1729
08.06.2016, 18:49

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Erst bildest du die Differenz der beiden Kurven.
Das Ergebnis integrierst du innerhalb sinnvoller Grenzen (nicht über eine Nullstelle der Differenzfunktion hinausintegrieren), aber da hier eine Art Grundfläche zum Tragen kommt, musst du die Funktion quadrieren, mit π multiplizieren und dann integrieren.

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Kommentar von Kazooh
06.06.2016, 16:32

Okay vielen Dank, aber warum muss man die Funktion quadrieren und mal pi rechnen?

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Rechnest die Schnittpunkte der beiden Graphen aus indem du die gleichsetzt
Dann nimmst du das integral mal Pi der oberen Funktion minus das integral mal Pi der unteren Funktion

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Du musst mit einer integralrechnung die fläche zwischen den kurvem ausrechnen. Dann die fläche quadrieren und mal pi rechnen fertig. 

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Kommentar von Volens
06.06.2016, 16:33

Wichtig! Quadrieren nicht vergessen. Eine Fläche ist π r².

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