Eingeschlossene Fläche Integralrechnung?
Berechnen Sie die von den zwei Funktionsgraphen eingeschlossene Fläche:
f(x)= -1/2x^2 + 2x, g(x)= x^3 - 6x^2 + 9
Ich habe zuerst die Schnittstellen berechnet. Da kam raus: x1: 7/2, x2: 2.
Danach habe ich obere Funktion - untere Funktion gerechnet (natürlich integriert). Ich glaube, dass die obere Funktion f(x) ist und die untere Funktion g(x). Jedoch komme ich nicht auf die richtige Lösung: A=4,88.
Habe ich etwas vergessen? Oder bin ich das Beispiel generell falsch angegangen?
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. :-)
3 Antworten
Das ist eine ziemlich hässliche Aufgabe,weil es hier 3 Schnittstellen gibt und auch 2 Flächen,die von f(x) und g(x) eingeschlossen werden.
Außerdem wechseln im Integrationsbereich sich die obere Grenze und untere Grenze ab,was zu einem falschen Ergebnis führt.
Diese Aufgabe gehört zu den schwersten dieser Art
f(x)=g(x)
Schnittstellen x1=-1,306 und x2=1,237 und x3=5,57
Habe ich mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) ermittelt ohne solch ein Ding kannst´e gleich einpacken
Fläche zwischen 2 Graphen
A=Integral(f(x)-g(x) nennt man auch Differenzengleichung
f(x)=obere Begrenzeung
g(x)=untere Begrenzung
Hinweis: f(x) und g(x) dürfen sich im Intervall x1=-1,306 bis x3=5,57 nicht abwechseln,was sie aber tun.
Im Intervall x1=-1,306 bis x2=1,237 ist g(x)=x³-6*x²+9 die obere Begrenzung
1.te Fläche
A1=Integral((x³-6*x²+9)-(-0,5*x²+2*x)
A1=Int.(x³-6*x²+9+0,5*x²-2*x)*dx=Int.(x³-5,5*x²-2*x+9)*dx
A1=Int.(x³*dx)-5,5*Int.(x²*dx)-2*Int.(x*dx)+9*Int.(dx)
A1=......+C
A1=obere Grenze minus untere Grenze=(F(xo)) - (F(xu)) xo=1,237 und xu=-1,306
A2 hier ist die obere Begrenzung f(x)=-0,5*x²+2*x und die untere Begrenzung
g(x)=x³-6*x²+9
A2=Int.((-0,5*x²+2*x) - (x³-6*x²+9)
A2=Int.(-0,5*x²+2*x-x³+6*x²-9)*dx
A2=Int.(-1*x³+5,5*x²+2*x-9)*dx)
A2=-1*Int.(x³*dx)+5,5*Int.(x²*dx)-9*Int.(dx)
A2=.....+C
A2=obere Grenze minus untere Grenze=(F(xo)) - ((F(xu)) xo=5,57 xu=1,237
Den Rest schaffst du wohl selber.
zeichne beide Graphen auf Millimeterpapier,wo du die Flächen ausmessen kannst.
Kauf dir auf jeden Fall einen GTR,wenn du noch keinen hast,weil der dir sehr viel Arbeit erspart.
Prüfe auf Rechen und Tippfehler.
Was hast du denn für ein Ergebnis raus?
Welche Funktion oben leigt, kannst du ja recht einfach prüfen indem du einen Punkt im Intervall einsetzt; also bspw. f(4) und g(4) berechnest und guckst was größer ist.
obere -untere funtkion und das integriert klingt richtig soweit.
Vielleicht irgendwo ein Rechenfehler drin?
Bei mir kommt A= -1,78 raus. Eigentlich sollte A= 4,88 rauskommen.
Entweder du hast dich in der Angabe verschrieben oder falsch gerechnet, denn die Schnittpunkte dieser beiden Funktionen liegen bei x1 = 1,237, x2 = -1,306 und x³ = 5,568..