Mathe Integralrechnung?

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Es gibt die Funktionen f und g: f(x)=(x-1)^2 und g(x)=x+1

1. Berechne den Inhalt der Fläche A zwischen den Graphen von f und g über dem Intervall (-1;2)
2. Berechne den Inhalt der Fläche B, welche von den Graphen von f und g eingeschlossen wird.

Answer 1

[nobytree2]

1. Zuerst die Differenzfunktion bilden von h(x) = f(x) - g(x)
2. Die Nullstellen von h(x) ausrechnen
3. Das Integral von h(x) ausrechnen
4. Von Intervallanfang -1 bis zur ersten Nullstelle die Fläche berechnen, von der ersten bis zur zweiten, von der zweiten ... bis zur letzten, von der letzten Nullstelle bis zum Intervallende 2 die Fläche berechnen.

Also

h(x) = (x-1)² - x - 1 = x² - 2x + 1 - x - 1 = x² - 3x

h(x) = 0 --> x = 0 oder x = 3. Die letzte Nullstelle interessiert nicht, da außerhalb des Intervalls.

Das Integral von x² - 3x ist 1/3 x³ - 3/2 x²

Damit rechnen wir die Flächen von (-1,0) und (0,2) aus, also

$Fläche_{\left(-1,2\right)}=\left|\int_{-1}^0\ \frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right|+\left|\int_0^2\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right|$

Damit verhinderst Du, dass sich negative Flächenwerte und positive Flächenwerte saldieren.

Comments

[Marie35f]

Vieeelen Dank!!! :-)

Answer 2

[Rhenane]

Zuerst berechnest Du die Schnittpunkte der beiden Funktionen, indem Du f(x)=g(x) ausrechnest (brauchst Du für beide Aufgabenteile).

Für die Berechnung der Flächen zwischen den Graphen musst Du die Differenzfunktion, also f(x)-g(x) (oder umgekehrt, ist egal, Du musst eh vom Ergebnis den Betrag rechnen) integrieren.

zu 1) Liegt ein (oder beide) Schnittpunkt im angegebenen Intervall, dann musst Du einzeln von Intervallgrenze zu Schnittpunkt1, (evtl. SP1 zu SP2) und vom SP zur rechten Intervallgrenze integrieren.

Bei 2) einfach innerhalb der Schnittpunkte integrieren.

(immer daran denken von den ermittelten Integralen den Betrag zu nehmen, d. h. bei negativen Ergebnissen das Minuszeichen weglassen, denn es geht ja um Flächen, und die sind immer positiv)

Answer 3

[Wechselfreund]

Schnittpunkte und Differenzfunktion bestimmen.

a) Beträge der Integrale der Differenzfunktion von -1 bis 0, 0 bis 2

b) Betrag des Integrals der Differenzfunktion von 0 bis 3

(Achtung, geändert, da Fehler bei einer Schnittstelle)

Answer 4

[Freiandhuehner]

Als erstes bildest du die Differenzfunktion von f(x) und g(x), also f(x) - g(x).

Dann stellst du das bestimmte Integral von -1 bis 2 auf, in das du die Differenzfunktion einsetzt. Als nächstes musst du nur noch die Stammfunktion bilden und den Flächeninhalt ausrechnen.

So würde ich das machen.