Integralrechnung Flächen unterhalb der x Achse?
Ich bin am verzweifeln, ich verstehe das einfach nicht und das Internet und mein Mathebuch hilft mir nicht... wie berechne ich die grün markierte Fläche ? Die Funktion ist f(x)=-x^2-2x-3 und der interval ist (-2;2)
Ich würde mich über eine Hilfe echt freuen : )
Vielen Dank : )
3 Antworten
Die Fläche ist gegeben über:
Area = Int[-2, 2]{ |f(x)| dx}
Mit |f(x)| = |-x^2 - 2x - 3| = |x^2 + 2x + 3| = |(x + 1)^2 + 2| = (x+1)^2 + 2
Einsetzen liefert:
Area = int[-2,2]{ ((x+1)^2 + 2) dx}
Nun bestimmen wir die einzelnen Stammfunktionen:
Int{ 2 dx} = 2x + const.
Int{ (x+1)^2 dx} = Int{ 3/3 * (x+1)´ * (x+1)^2 dx}
und mit ((x + 1)^3)´ = 3*(x+1)^2 mit der Kettenregel, folgt damit
Int{ (x+1)^2 dx} = (1/3)*(x+1)^3 + const.
Entsprechend gilt es dann nur noch die Grenzen einzusetzen und man erhält:
Area = 2*2 - 2*(-2) + (1/3)*( (2 + 1)^3 - (-2 + 1)^3 ) = 8 + (1/3)*(27 + 1) = 8 + 28/3 = 52/3
Damit folgt die Fläche zu Area = 52/3 .
Das ganze ist dann auch nochmal hier in Wolfram-Alpha zu sehen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%5B-2,2%5D%7B+((x%2B1)%5E2+%2B+2)+dx%7D
Merke: Man darf nicht über Nullstellen hinweg integrieren
1) Prüfen,ob Nullstellen im Intervall xu=-2 und xo=2 sind
Ist hier nicht der Fall
2) nun integrieren
f(x)=-1*x^2-2*x-3 integriert
F(x)=-1/3*x^3-1*x^2-3*x+C hier ist C die Integrationskonstante,die immer angehängt werden muß
Fläche zwischen der x-Achse und den Graphen
A="obere Grenze" minus "untere Grenze"
obere Grenze xo=2 und untere Grenze xu=-2 eingesetzt
A=(-1/3*2^3-2^2-3*2) - (-1/3*(-2)^3-(-2)^2-3*(-2))
A=(-12,666...) -(4,666..)=-12,666-4,666=-17,33. FE (Flächeneinheiten)
Hinweis: Das Minuszeichen ergibt sich,weil die Fläche unter der x-Achse liegt.
Die Integrationskonstante C hebt sich auf ,bei dieser Rechnung.
Man nimmt dann den Betrag A=17,33 FE
Mit dem Integral berechnest Du die Fläche ZWISCHEN der x-Achse und dem Graphen. Liegt die Fläche unterhalb der x-Achse, dann kommt ein negativer Wert raus (wenn Du wie üblich die kleinere Grenze als untere Grenze nimmst).
Daher wird bei Flächen immer der Betrag bei solchen Berechnungen genommen.
Und: Ist die Fläche nicht wie hier ersichtlich, immer prüfen, ob zwischen den Grenzen evtl. Nullstellen liegen, an denen die Fläche auf die andere Seite der x-Achse "hüpft".
Dann musst Du von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und die einzelnen Flächen (Beträge) addieren. Würdest Du in einem Rutsch von Intervallgrenze zu Intervallgrenze integrieren, dann würde die Fläche unter der x-Achse von der Fläche darüber abgezogen werden!