Gegeben sind die Gerade g durch die Punkte p(0/0/3) und q(-5/3/3) und die gerade h durch die Punkte r(0/-1,5/4,5) und s(-5/4,5/1,5)?
a) Zeigen Sie, dass die Geraden g und h sich schneiden und so eine Ebene e aufspannen.
was muss ich hier tun? Bzw wie sollte ich vorgehen? Die punkte in die jeweilige gerade einsetzten? Und wenn ja, wie?
Update, falls jemand das je brauchen sollte:
p und q werden in die gerade g eingesetzt
(natürlich alles in klammern in den Gleichungen untereinander und nicht nebeneinander schreiben)
g: x= OP + r • PQ
g: x= (0/0/3) + r • (-5/3/0)
das selbe auch mit den punkten r und s ind die gerade h
h: x= OR + r• RS
h: x= (0/-1,5/4,5) + r • (-5/3/-3)
das wird dann gleichgesetzt.
g=h
(0/0/3) + r• (-5/3/0) = (0/-1,5/4,5) + h• (-5/3/-3)
und dann geht es hier
oder hier
weiter.
4 Antworten
Geraden definieren ...
g(x): x = (0│0│3) + r * (-5│3│0)
h(x): x = (0│-1,5│4,5) + s * (-5│6│-3)
und gleichsetzen:
(1) 0 - 5r = 0 - 5s
(2) 0 + 3r = -1,5 + 6s
(3) 3 = 4,5 - 3 * s
------------------------
s = 1 / 2
...
S (-2,5│1,5│3)
Stelle beide Geraden in Parameterform dar und setze diese gleich du hältst dadurch drei Gleichungen mit den zwei unbekannten Parametern.
Aus zwei Gleichungen berechne die beiden Parameter dann setze die Parameter in die dritte Gleichung ein, erhältst du eine wahre Aussage, so schneiden sich die beiden Geraden
Die y-Koordinate wird immer um 1 kleiner.Die x-Koordinate wird von P nach Q um 10 kleiner.Also...:-)
Um zu zeigen, dass die Geraden g und h eine Ebene aufspannen, musst du zunächst zeigen, dass sie sich schneiden. Du kannst das tun, indem du die Koordinaten der Punkte, die die Geraden durchlaufen, in die Gleichungen der Geraden einsetzt und nachprüfst, ob die Gleichungen das gleiche Ergebnis liefern.
Um die Gleichungen der Geraden g und h zu bestimmen, kannst du die Punkt-Steigungsform verwenden. Die Gleichung der Geraden g lautet dann:
g: x/0/3 + t(-5/3/0) = x'/-5/3
und die Gleichung der Geraden h lautet:
h: 0/-1,5/4,5 + t(-5/3/0) = x'/-5/3
Wenn du nun die Koordinaten der Punkte p und q in die Gleichung der Geraden g einsetzt, und die Koordinaten der Punkte r und s in die Gleichung der Geraden h einsetzt, erhältst du zwei Gleichungen, die das gleiche Ergebnis liefern. Das bedeutet, dass die Geraden sich schneiden und somit eine Ebene aufspannen.
Zum Beispiel, wenn du die Koordinaten des Punktes p in die Gleichung der Geraden g einsetzt, erhältst du:
g: 0/0/3 + t(-5/3/0) = 0/-5/3
und wenn du die Koordinaten des Punktes r in die Gleichung der Geraden h einsetzt, erhältst du:
h: 0/-1,5/4,5 + t(-5/3/0) = 0/-5/3
Da beide Gleichungen das gleiche Ergebnis liefern, schneiden sich die Geraden g und h und bilden somit eine Ebene.