Wie bestimme ich nun die Ebene die alle Geraden der Schar enthält?

Ich hab diese Geradeschar gegeben:

$g_s:x=\left(0\right|-3\left|1\right)+t\cdot\left(2\right|-2\left|s\right|$ Wie bestimme ich nun die Ebene die alle Geraden der Schar enthält?

Kann mir jemand helfen bitte?

Answer 1

[SomeDude803]

Um die Ebene zu bestimmen, die alle Geraden der Schar enthält, musst du zuerst zwei beliebige Geraden aus der Schar auswählen und dann die Normale der Ebene bestimmen, die diese beiden Geraden enthält. Diese Normale kann dann verwendet werden, um die Koordinatenform der Ebene zu erstellen.

Angenommen, du wählst die Geraden g1 und g2 aus der Schar:

g1: x = (0|-3|1) + t*(2|-2|s)

g2: x = (0|-3|1) + u*(2|-2|t)

Um die Normale der Ebene zu bestimmen, musst du den Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden berechnen:

n = (2|-2|s) x (2|-2|t)

Dies ergibt:

n = (2s+4t|4s+2t|4)

Die Koordinatenform der Ebene lautet dann:

2s+4t*x + 4s+2t*y + 4*z = d

Um d zu bestimmen, setze einfach einen Punkt ein, der auf der Ebene liegt. Zum Beispiel kannst du den Punkt (0|-3|1) von g1 verwenden:

2s+4t*0 + 4s+2t*(-3) + 4*1 = d

Löse diese Gleichung nach d auf:

d = -4s-12t+4

Dann lautet die Koordinatenform der Ebene:

2s+4t*x + 4s+2t*y + 4*z = -4s-12t+4

Du kannst diese Gleichung auch vereinfachen, indem du s und t ausklammerst:

(2x+4y-4)*s + (4x+2y-12)*t + 4*z = 4

Dies ist die Koordinatenform der Ebene, die alle Geraden der Schar enthält.