Schneiden sich die Geraden g und h?
In der Figur sind die Punkte A, B und C die Diagonalenschnittpunkte der jeweiligen Seitenflächen des Quaders. Schneiden sich die Geraden g und h ?
Wie berechne ich das?
3 Antworten
A(4/4/1)
B(2/8/1)
C(2/4/2)
G(0/8/2)
Gerade g:
A(4/4/1)
AG = G - A = (0/8/2) - (4/4/1) = (-4/4/1)
g: x = (4/4/1) + r(-4/4/1)
Gerade h:
C(2/4/2)
CB = B - C = (2/8/1) - (2/4/2) = (0/4/-1)
h: x = (2/4/2) + r(0/4/-1)
Damit müßte C die Koordinaten (0|4|1) besitzen, was aber nicht der Zeichnung entspricht, die die y-Koordinate von C bei 3 vermuten läßt.
Ich habe C als die Mitte der oberen Deckfläche interpretiert und nicht der hinteren Seitenfläche. Der Text kann allerdings anders interpretiert werden, aber die Gerade h geht eindeutig durch die Deckfläche des Quaders, da sie ab C wieder sichtbar ist (durchgezogene Linie).
Eine schnelle Methode zu überprüfen, ob sich zwei Geraden im Raum überhaupt schneiden: Stelle eine 3x3-Matrix aus den beiden Richtungsvektoren und dem Verbindungsvektor zwischen den beiden Stützpunkten auf, bestimme die Determinante nach der Sarrus-Regel und prüfe, ob sie gleich Null ist. Nur in diesem Fall liegen Richtungsvektoren und Verbindungsvektor in einer Ebene und es gibt einen Schnittpunkt, falls die Geraden nicht parallel zueinander liegen oder gar identisch sind.
Ist die Determinante ungleich Null, sind die Geraden windschief zueinander und man kann sich die Suche nach dem Schnittpunkt sparen.
Du musst für h eine vektorielle Geradengleichung aufstellen. Diese Geradengleichung besteht aus einem Stützvektor. Das kann wahlweise der Ortsvektor des Punktes B oder C sein. Zweitens musst Du einen Richtungsvektor bestimmen. Dieser wird aus der Differenz der beiden Ortsvektoren zu den Punkten B und C berechnet. Der Vektor, der dann die Gerade beschreibt hat dann das Format:
wobei p der Stützvektor ist und q der Richtungsvektor. Lambda ist ein frei wählbarer Skalarparameter, der die Lage eines beliebigen Ortsvektors auf der Geraden steuert.
Das gleiche machst Du für die Gerade g. Auch wenn ein zweiter Ortsvektor für die Definition der Geraden hier keinen Namen abbekommen hat, existiert er trotzdem an einer auffälligen und leicht auszählbaren Stelle. Du gewinnst eine zweite Geradengleichung vom Format.
Dann vollziehst Du eine Gleichsetzung der beiden Vektoren g und h und gewinnst auf diese Weise drei skalare Gleichungen mit den beiden Unbekannten lambda und gamma.
Dann überprüfst Du die dritte Gleichung, ob beide Gleichungsseiten tatsächlich gleich sind. Wenn sie gleich sind, dann ist die Schnittbedingung erfüllt, falls nicht dann sind beide Geraden "windschief".
In diesem Fall schneiden sich beide Geraden. Mit Kenntnis der Zahlenwerten von lambda und gamma kannst Du über eine der beiden Geradengleichungen sogar den Schnittpunkt (2 | 6 | 1,5) ausrechnen.
Um das rechnerisch zu zeigen kannst du Geradengleichungen aufstellen und überprüfen ob sich diese Geraden schneiden.
Ja, dass weiß ich aber wie finde ich die Koordinaten raus, wenn du 3 gegeben sind? Dann kann ich ja nur 1 aufstellen...
Für jede Gerade sind 2 Punkte gegeben, genug um eine Geradengleichung aufzustellen.
Ich glaub ich weiß was du meinst. Der Punkt hinten rechts in der Ecke sieht für mich aus wie das er auf der Ecke des Quaders ist. Aber ist glaube ich nicht eindeutig.
Achso könnte man dann auch D nehmen mit (0,0,0) oder?
Ja das war mein Gedanke... geht das nun trotzdem dass sich eine Geradengleichung angeben kann?
Ja du gibst eine Geradengleichung an unter der Annahme, dass die Gerade g durch (0, 8, 2) verläuft.
Da stimmt etwas nicht mit der Aufgabe. Die Punkte A, B und C sollen die Diagonalschnittpunkte der jeweiligen rechteckigen Seitenflächen sein, befinden sich also genau in der Mitte dieser Flächen.
Damit müßte C die Koordinaten (0|4|1) besitzen, was aber nicht der Zeichnung entspricht, die die y-Koordinate von C bei 3 vermuten läßt.
Die Geraden g, die durch A und den Punkt (0|8|2) geht, und h durch B und C sind in Wirklichkeit windschief.