Analytische Geometrie?
Bestimmen Sie einen Wert für k so , dass der Punkt p auf einer geraden liegt , die durch die Punkte A und B verläuft.
A (1.2.4)
B(0.1.5)
P(3.k^2.k)
Wie ist eure herangehensweise an die Aufgabe?
3 Antworten
MIT CHATGPT
Um den Wert von k zu bestimmen, sodass der Punkt P auf der Geraden liegt, die durch die Punkte A und B verläuft, müssen wir sicherstellen, dass der Vektor von Punkt A zu Punkt P ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden ist, die durch die Punkte A und B verläuft.
Die Richtungsvektoren einer Geraden können durch die Differenz der Koordinaten der beiden Punkte bestimmt werden, die auf der Geraden liegen. In diesem Fall ist der Richtungsvektor:
Richtungsvektor AB = B - A = (0 - 1, 1 - 2, 5 - 4) = (-1, -1, 1)
Der Vektor von Punkt A zu Punkt P ist:
Vektor AP = P - A = (3 - 1, k^2 - 2, k - 4) = (2, k^2 - 2, k - 4)
Damit Punkt P auf der Geraden liegt, muss der Vektor AP ein Vielfaches des Richtungsvektors AB sein. Das bedeutet, dass die Komponentenverhältnisse gleich sein müssen:
2 / -1 = (k^2 - 2) / -1 = (k - 4) / 1
Daraus ergibt sich:
-2 = k^2 - 2 = k - 4
Lösen wir die Gleichungen einzeln:
- k^2 - 2 = -2
- k^2 = 0
- k = 0
- k - 4 = -2
- k = 2
Da die beiden möglichen Werte für k unterschiedlich sind, müssen wir prüfen, ob einer der Werte dazu führt, dass der Vektor AP ein Vielfaches des Richtungsvektors AB ist.
Für k = 0:
Vektor AP = (2, 0 - 2, 0 - 4) = (2, -2, -4)
Vektor AB = (-1, -1, 1)
Es ist offensichtlich, dass der Vektor AP nicht ein Vielfaches des Vektors AB ist.
Für k = 2:
Vektor AP = (2, 2^2 - 2, 2 - 4) = (2, 2, -2)
Vektor AB = (-1, -1, 1)
In diesem Fall ist der Vektor AP tatsächlich ein Vielfaches von AB, da beide Vektoren das gleiche Verhältnis haben: -2. Daher ist k = 2 die richtige Lösung.
Zusammenfassend liegt der Punkt P(3, 2^2, 2) auf der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2, 4) und B(0, 1, 5) verläuft, wenn k den Wert 2 hat.
Die Lösung von gpt kann ich in keinster Weise nachvollziehen, habe ich auch schon versucht 😕
Geradengleichung aufstellen (RV = 0B - 0A)
mit P gleichsetzen.
Erste Zeile liefert den Faktor des RV für P
In dritter Zeile k berechnen.
Zweite Zeile prüfen.
(k = 2 hab ich raus)
1.Berechne den Richtungsvektor von A nach B:
- Richtungsvektor AB = B - A = (0 - 1, 1 - 2, 5 - 4) = (-1, -1, 1).
2.Setze den Richtungsvektor von A nach P gleich dem Richtungsvektor von A nach B:
- Richtungsvektor AP = P - A = (3 - 1, k^2 - 2, k - 4) = (2, k^2 - 2, k - 4).
3.Setze die Komponenten der Richtungsvektoren gleich:
- Für die x-Komponente: 2 = -1
- Für die y-Komponente: k^2 - 2 = -1
- Für die z-Komponente: k - 4 = 1
4.Löse diese Gleichungen nach k auf, um den Wert von k zu finden.
Wenn du die Gleichungen gelöst hast, erhältst du den Wert von k, der sicherstellt, dass der Punkt P auf der Geraden liegt, die durch die Punkte A und B verläuft.
Richtungsvektor AB = B - A = (0 - 1, 1 - 2, 5 - 4) = (-1, -1, 1).
Richtungsvektor AP = P - A = (3 - 1, k^2 - 2, k - 4) = (2, k^2 - 2, k - 4).
Setze die Komponentenverhältnisse gleich: (2) / (-1) = (k^2 - 2) / (-1) = (k - 4) / (1).
So ? wenn das auch nicht stimmt kann ich leider nicht weiterhelfen
Wenn ich das gleichungssystem auflöse liegt der Punkt nicht auf der Geraden