Funktionenschar integral?

Wie mache ich diese Aufgabe ich bekomme für a keine richtige Zahl..

Answer 1

[SeifenkistenBOB]

Als erstes berechnest du die Stammfunktion von f_a.

Im nächsten Schritt wollen wir den Flächeninhalt A_a ermitteln. Da der Flächeninhalt von der Variable a abhängt, werden wir am Ende eine Formel erhalten, die immer noch das a enthält.

Um den Flächeninhalt mithilfe eines Integrals auszuwerten brauchen wir eine untere und obere Intervallgrenze. Die untere Grenze x1 stellt die y-Koordinatenachse dar, also x1 = 0. Die obere Grenze x2 hängt wiederum von a ab und muss noch berechnet werden. Dazu errechnen wir die Nullstellen der Funktion f_a:

Setze f_a = 0:

$e^{2x}=a\cdot e^x$ $e^x=a$ $x=\ln\left(a\right)$

Daraus folgt für die obere Grenze x2 = x = ln(a)

Nun wird die Stammfunktion wie sonst auch ausgewertet, nur dass die obere Grenze keine einfache Zahl ist sondern eine Variable enthält.

Um die letzte Teilaufgabe zu lösen, muss dieses bestimmte Integral noch mit -2 gleichgesetzt und aufgelöst werden.

Die Funktion für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von a (mit a>1) sieht dann bei mir so aus:

$A_a\left(a\right)=-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}+a$

Setze A_a(a) = -2 und addiere 0.5 auf beiden Seiten:

$-2+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}a^2+a$

In Binomische Formel mit Korrekturterm umschreiben:

$-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\left(a^2-2a\right)=-\frac{1}{2}\left(\left(a-1\right)^2-1\right)$

alles mit -2 multiplizieren:

$3=\left(a-1\right)^2-1$

alles mit +1 addieren und die Wurzel ziehen

$\sqrt{4}=a-1$

Ergebnis: Bei a = 3 hat die Fläche den Inhalt 2 (bzw. das Integral den Wert -2).

Comments

[Halbrecht]

nicht gleich 2 ! Nicht gleich +2 , sondern wegen des vierten Quadranten minus 2

kam ich auch erst spät drauf

[SeifenkistenBOB]

@Halbrecht

danke, habs korrigiert. :)

[Noma643]

Danke aber warum berechnest du die obere Grenze der stammdunktion ? Man braucht doch die nullstele der normalen funktion ?

[SeifenkistenBOB]

@Noma643

Ja stimmt, da war ich gedanklich schon woanders. Habs korrigiert.

Answer 2

[Halbrecht]

Nullstelle feststellen : nur eine bei x = ln(a)

Du keine Zahl ? Ich auch nicht . Muss aber bei ca a = 3 der Fall sein . AH ! Fehler erkannt : Fläche ist UnTER der x-Achse , daher unten nicht = +2 , sondern = -2 !

Wo mein Fehler ist ? Vielleicht findest du ihn 

.

Fa(x) = 0.5*e^(2x) - a*e^x 

(immer prüfen durch ableiten)

.

Grenzen sind 0 und ln(a)

.

einsetzen 

obergrenze ist ln(a)

0.5*e^(2*ln(a)) - a*e^(ln(a)) =

0.5*a² - a * a 

=

-0.5a²

.

untergrenze ist 0 

0.5*e^(2*0) - a*e^0

=

0.5*1 - a*1 

=

0.5 - a 

.

ober minus unter

-0.5a² + a - 0.5 soll -2 sein

-0.5a² + a - 0.5 = -2

-0.5a² + a + 2.5 = 0

einziger pos a wert bei ca 3.44949

Comments

[Noma643]

Ahhhhhh danke!!!