Fläche Standardnormalverteilung berechnen?
Wie berechne ich diese Aufgabe?
4 Antworten
Die Fläche unter dem Graphen einer (nichtnegativen) Funktion lässt sich als Integral darstellen. Ein Integral lässt sich leicht aus einer Stammfunktion der gegebenen Funktion berechnen.
Wahrscheinlichkeitsdichten (hier ist offensichtlich die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standardnormalverteilung gemeint) sind nichtnegative Funktionen; ihre Integralfunktionen (mit Untergrenze -unendlich) sind die zugehörigen "Wahrscheinlichkeitsverteilungen", manchmal auch "kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilungen" genannt.
Eine Stammfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichte der Standardnomalverteilung ist - bis auf einen Faktor 1/2 - die Gaußsche Fehlerfunktion; diese ist tabelliert, ebenso die (kumulierte) Verteilung der Standardnormalverteilung.
Falls die Werte für +unendlich und -unendlich nicht mit tabelliert sind: für jede Verteilungsfunktion F gilt (muss notwendigerweise gelten):
F(-unendlich) = 0
F(+unendlich) = 1
Die Funktion kann sinnvollerweise nur die "Dichtefunktion" der Standardnormalverteilung sein (Erwartungswert 0, Standardabweichung 1): https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung
Hier die "Dichtefunktion" suchen und für µ 0 und für σ 1 einsetzen.
Die Werte der zugehörigen Integralfunktion sind tabelliert, z. B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle
@A) Du nimmst erstmal eine Standard-Normalverteilungstabelle (z-Wert-Tabelle) und schaust nach, wieviel % die Fläche bis zum z-Wert +1,65 hat. Dann überlegst Du, welchen Anteil dann die restliche Fläche haben muss.
Das wären - meine ich - 95, 053%. Aber wie gehe ich denn bis ins Unendliche? Kann die Fläche dann nicht auch unendlich groß werden?
Eine unendlich ausgedehnte Fläche kann auch einen endlichen Flächeininhalt haben. Die Fläche einer Wahrscheinlichkeitsdichte muss das auch - die Fläche unter ihrem Graphen muss immer genau 1 sein, die Wahrscheinlichkeit des "sicheren Ereignisses" (es kommt ja immer irgendein Ergebnis zwischen -unendlich und +unendlich heraus).
Die Gesamtfläche hat 100%; was Du davon abziehen kannst, hast Du bestimmt.
Du kommst ja auch bereits von unendlich (minus unendlich bis +1,65 hat den Flächenteil 95,053%), ohne dass Dir das Probleme bereitet hat. Das "plus unendlich" ist nur wichtig, weil es im Unterschied zur Aufgabe B keine zweite Begrenzung gibt.
Wenn nicht mit dem TR dann nutzt man diese Tabelle
von -unendlich b is z = +1.645 sind es 0.94950
bis +undendlich fehlen noch ? Das ist die Anwort für A)
.
B) Bastelarbeit
wie A) den fehlenden Rest verdoppeln
Da ich in einem Kommentar gelesen habe, dass du die Werte der Wahrscheinlichkeiten haben möchtest, hier:
a) ~ 5 %
b) ~ 50 %
Gerne :)
Vielen Dank für die Mühe, nur habe ich leider noch nicht verstanden, wie groß die Fläche jetzt ist bzw. wie ich das berechne. Oder sind 0 und 1 die Lösungen? Ich habe ja keine Funktion gegeben, mit der ich das Integral berechnen könnte