Könnt ihr mir den Rechenweg zu diesem Extremwertproblem zeigen?
Hallo🙋🏻♀️
die Aufgabe lautet:
Aus einem rechteckigen Stück Pappe der Länge 20 cm und Breite 12 cm werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten und die überstehenden Teile zu einer nach oben offenen Schachtel hochgebogen.
Für welchen Wert von x wird das Volumen maximal?
Ich verstehe die Aufgabe nicht so ganz wäre also voll nett wenn ihr mir den rechenweg zeigen könntet.
Dankeschön im voraus !!!!
LG Hasti
5 Antworten
wenn man an den Ecken Quadrate der Länge x herausschneidet, um aus dem Blatt eine offene Schachtel zu machen, ist x offenbar die Höhe. Die Länge ist 20cm - 2x, die Breite 12-2x, das Volumen folglich x * (20 cm - 2x) * (12 cm - 2x), wobei x in der Einheit cm. Wenn man das nun zusammenfasst, kommt man zu V(x) = 4x³ - 64 x² cm + 240x cm². Für das Optimum leiten wir V(x) ab zu 12x² - 128x cm + 240 cm² und setzen das gleich 0.
jetzt ohne cm: 12x² + 128x + 240 = 0 = x² + 32/3x + 20
Wahrscheinlich habe ich mich oben irgendwo verrechnet.
Die Länge ist 20cm - x, die Breite 12-x,
Sollte es nich jeweils -2x sein?
Ergänzung zur Antwort von Littlethout:
Interessant ist hier, dass es zwei Nullstellen der Ableitung gibt. Die zweite ist aber ein Minimum und vor allen Dingen außerhalb des für die Aufgabenstellung bedingten Definitionsbereiches,
Für genau diese Aufgabe nur mit anderen Zahlen gibt es etliche Youtube-Videos, die es viel besser erklären, als wenn Du hier nur einen Text bekommst.
Google das mal.
hab mir mehrere videos angeschaut aber es wurde immer wieder in jedem video anders erklärt. Deshalb bitte ich auch um einen Rechenweg.
Die Einheit cm lasse ich weg.
V = x * (20 - 2x) * (12 - 2x) = 4 x^3 - 64 x^2 + 240x = 4x * ( x^2 - 16x + 60 ) .
dV/dx = 12x^2 -128x +240 ; dV/dx = 0 => Hochpunkt (2,4... ; 262,6...)
Die Schachtel hat das Volumen
x*(20-2x)*(12-2x)
Das leitest du nach x ab und suchst die Nullstellen der Ableitung.