Wie kann ich diese Matheaufgabe lösen?
Ich verstehe dies aufgabe nicht:
Aus einem rechteckigen Blech mit den Seitenlängen l = 40 cm und b = 25 cm soll eine quaderförmige Dose hergestellt werden, indem man an den Ecken Quadrate ausschneidet und die übrig gebliebenen Rechtecke hochbiegt. Wie groß muss die Seitenlänge der Quadrate sein, wenn das Volumen der entstehenden Dose (ohne Deckel) möglichst groß werden soll?
Wie kann ich die Aufgabe lösen?
1 Antwort
du musst zunächst das Volumen der "dose" aufstellen, in abhängigkeit von der seitenlänge a der quadrate. die grundfläche der dose wäre ja
(l-2a)*(b-2a) weil ja pro seite 2 quadrate rausgeschnitten werden und daher 2mal die seitenlänge des Quadrats abgeschnitten wird.
dann brauchen wir nich die höhe der dose. Wenn du dir eine kurze skizze machst, siehst du, dass siese höhe dann ebenfalls a entspricht.
Das Volume ist also V(a)=(l-2a)*(b-2a)*a=l*b*a -2*(l+b)*a^2 +4*a^3
das leitest du dann ab, um nach einem extrempunkt zu suchen, genauer nach einem Hochpunkt. für Extrema gilt V'(a)=0 woraus folgt
0=l*b -4*(l+b)*a +12*a^2
da dies eine Parabelfunktion ist, erhälts du 2 lösungen über mitternachstformel:
a_extremum_1,2=(4(l+b) plus/minus wurzel(16(l+b)^2 -4*12*lb))/24
weiter weißt du, dass die Quadrate eine seitenlänge zwischen 0 und b/2 haben müssen, da die Nullstellen des Volumens l/2, b/2 und 0 sind. du weißt aber das l>b ist, daher kann a nur zwischen den nullstellen 0 und b/2 liegen. eine der beiden lösungen a_extremum_1,2 muss daher zwischen 0 und b/2 liegen und die andere zwischen b/2 und l/2. die größere der beiden lösungen macht aber keinen sinn, sodass die kleinere auf jeden fall die gewünschte Antwort für maximales Volumen darstellt.
Zur probe kannst du diese lösung für a auch noch in die 2. Ableitung
V''(a)=-4*(l+b) +24*a
einsetzen. Wenn diese Lösung nämlich wirklich zu maximalem Volumen führt, muss V'' an dieser stelle negativ sein.
Dankeschön!