Differenzierbarkeit?

Ich habe die Funktion jetzt so weit vereinfacht das nur noch F(x)=x da steht und kann mir jemand helfen zu zeigen dass F nicht überall differenzierbar ist. Die Funktion hat ja einen Sprung und ist damit nicht überall differenzierbar aber wie zeige ich das?

Answer 1

[ChrisGE1267]

Kannst ja mal versuchen, den Differentialquotienten von F an der Stelle x=0 zu berechnen…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Comments

[milan558]

Bin mir nicht sicher 0?

[ChrisGE1267]

@milan558

Du musst mit der Integraldefinition den Links- und Rechts-Limes bilden und zeigen, dass sie verschieden sind: der Links-Limes ist 0, der Rechts-Limes 1; somit ist die Funktion F in x=0 nicht differenzierbar…

[milan558]

@ChrisGE1267

Danke

[milan558]

@ChrisGE1267

limes x->oo x = 1 oder? Weil x>=1 gleich 0 ist

Answer 2

[eterneladam]

Diese Aufgabe sehe ich ein Stück weit als Verar.....

Wo ist F(x) definiert? Auf der rechten Halbachse [0,unendlich) gilt F(x) = x, Probleme mit der Differenzierbarkeit gibt es da nur im Punkt x=0. Das kommt aber nicht wegen der Heaviside-Funktion, sondern weil man am Rand des Intervalls nicht differenzieren kann. Bildlich gesprochen kannst du da keine Tangente ran legen.

Wenn man die Integration mit negativem x zulässt, dann wäre es sauberer, für negative x das Integral von x bis 0 zu definieren (Fallunterscheidung). In diesem Fall ist F auf ganz R definiert und die Nicht-Differenzierbarkeit in der 0 kommt tatsächlich vom Sprung der Heaviside-Funktion. Die Formalien kannst du hier abschreiben:

https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit#Betragsfunktion

Answer 3

[DerRoll]

Du hast das Integral falsch berechnet. Bedenke dass das Integral im negativen Bereich = 0 ist. Dann hast du auch gleich die Stelle an der F nicht differenzierbar ist.

Comments

[milan558]

An der Stelle x=0? Wie berechne ich das Intergal richtig?

[DerRoll]

@milan558

Na, was wäre denn z.B. F(-5)?

[milan558]

@DerRoll

0 oder?

[DerRoll]

@milan558

yep. Und demzufolge ist F(x) zwar zwischen 0 und +unendl. = x, aber wie sieht es von 0 bis -unendl aus?

[milan558]

@DerRoll

Dann müsste es Null sein und im positiven unendlichen gleich 1

[DerRoll]

@milan558

Und jetzt bilde den links- und rechtsseitigen Differentialquotienten von F an x = 0.

[milan558]

@DerRoll

links ist 0 und rechts dann 1

[milan558]

@DerRoll

Könnte man das auch ohne den Differentialquotienten machen, indem man das Integral umschreibt von -oo bis 0 plus integral von 0 bis oo dann hat man doch links 0 und rechts 1 wenn man den limes bildet, am ende hat man dann stehen 0+1

[DerRoll]

@milan558

Ja aber am Ende benötigst du dennoch den rechts- und linksseitigen Differentialquotienten. Denn nichts anderes ist die Ableitung ja. Und ich verstehe nicht so wirklich was du da schreibst.

[milan558]

@DerRoll

Ach egal, ich mach es mit dem differentialquotienten

[milan558]

@milan558

@DerRoll Ich glaub ich hab die Aufgabe soweit verstanden aber ich weiß nicht so wirklich, wie ich das mit dem differentialquotienten aufschreiben soll. Kannst du mir da bitte auch kurz helfen?

[DerRoll]

@milan558

Na F'(x0) = lim_{x -> x0-} ((F(x) - F(x0))/(x - x0)) bzw. für die andere Seite x -> x0+. Oder du verwendest h mit + und -.

[milan558]

@DerRoll

Danke sehr 🙏