Differentialgleichung - richtig gelöst?

Hallo liebe Community, ich soll das AWP $\frac{dx}{dt}=\alpha x\left(1-\frac{x}{x_{\infty}}\right),\ x\left(t=0\right)=x_0$ lösen, und wichtig: Die positiven Lösungen für x_0 > x_inf und x_0 < x_inf skizzieren.

Ich bin wie folgt vorgegangen:

$"\Leftrightarrow"\ \frac{1}{x\left(1-\frac{x}{x_{\infty}}\right)}dx=\alpha\ dt\ "\Leftrightarrow"\ \int\frac{1}{x\left(1-\frac{x}{x_{\infty}}\right)}dx=\alpha$ (ups: alpha*t + c soll da stehen)

$\frac{1}{x\left(1-\frac{x}{x_{\infty}}\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{1-\frac{x}{x_{\infty}}}\Leftrightarrow A=1,\ B=\frac{1}{x_{\infty}}$ $...=\int\frac{1}{x}+\frac{1}{x_{\infty}-x}dx\ =\ln\left|x\right|-\ln\left|x_{\infty}-x\right|dx$ Nun habe ich die Fallunterscheidung:

1. x_0 > x_inf:

$\alpha\cdot t+c=\ln\left(x\right)-\ln\left(x-x_{\infty}\right)\ \Rightarrow\ c=\ln\left(x_0\right)-\ln\left(x_0-x_{\infty}\right)$

$e^{\alpha\cdot t+c}=\frac{x}{x-x_{\infty}}\Leftrightarrow\ x=\frac{x_{\infty}\cdot e^{\alpha t+c}}{e^{\alpha t+c}-1}$ 2. x_0 < x_inf:

$a\cdot t+c=\ln\left(x\right)-\ln\left(x_{\infty}-x\right)\Rightarrow\ c=\ln\left(x_0\right)-\ln\left(x_{\infty}-x_0\right)$ $e^{\alpha t+c}=\frac{x}{x_{\infty}-x}\Leftrightarrow\ x=\frac{x_{\infty}\cdot e^{\alpha t+c}}{e^{\alpha t+c}+1}$ Stimmt das? Was bedeutet hier "positive Lösung"?

Answer 1

[eterneladam]

Man wird wohl noch Vorgaben zu alpha und x_inf haben, oder entsprechende Fallunterscheidungen machen müssen. Wenn etwa alpha > 0, dann kann man für x_0 > x_inf > 0 aus der DGL eine negative Steigung von x ablesen, der Graph fällt also asymptotisch gegen x_inf. Wenn 0 < x_0 < x_inf, dann steigt der Graph asymptotisch gegen x_inf. Positive Lösungen sind solche mit x_0 > 0.

Comments

[LoverOfPi]

Ich dachte es wäre automatisch klar, dass x0 immer größer 0, da es ja um eine Population geht.

[eterneladam]

@LoverOfPi

Das hast du leider in deiner Frage nicht geschrieben:-) in diesem Fall ist natürlich alpha > 0.

[LoverOfPi]

Ich glaube zu Beginn ist alpha zunächst größer als 0.

Answer 2

[ChrisGE1267]

Die Lösung sieht für mich korrekt aus - Separation der Variablen, Partialbruch-Zerlegung (hab nicht gecheckt, ob Du korrekt gerechnet hast…🤣).

Ich denke mal, dass die unter „positiven Lösungen“ Lösungen für positive Zeiten t > 0 und verschiedene Parameter alpha verstehen. Aber warte vielleicht nochmal auf den Kommentar eines Experten für Differentialgleichungen…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie