CDF von Y = e^x bei gegebener PDF von X?

Aufgabe:

Mein Ansatz:

Y = e^x

fy(Y) = Pr(Y = y) = Pr(e^x = y) = Pr(x = ln(y))

Ich setze nun x = ln(y) in die obige Funktion ein:

Integral(1-e^-(2*(ln(y))))dy = Integral(1-e^ln(y^-2))dy = Integral(1-y^-2) dy = [y + 1/y] wenn ich nun für y 0 und unendlich einsetze fällt es mir schwer nach 1 aufzulösen um die CDF zu bekommen.

Answer 1

[eterneladam]

Du kannst mit "<=" statt "=" arbeiten,

F_Y(y) = Pr(Y <= y) = Pr(e^x <= y) = Pr(x <= ln(y)) = (einsetzen)

= 1 - exp( -2 ln(y) ) (1 < y < unendlich), sonst 0

= 1 - 1/y^2 (1 < y < unendlich), sonst 0

(Mit F_X(x) ist eine Verteilungsfunktion gegeben, die geht ja gegen 1 für x gegen unendlich, man muss nicht nochmal integrieren. Die Bezeichnungen sind etwas verwirrend.)