Aufgabe Analytische geometrie?
Wie löse ich die Aufgaben die mit dem avorstellungsvermögen zusammenhängen
1 Antwort
e)
Die Punkte FGHK liegen auf der Ebene E: x + 2y + 2z = 34
Gerade PQ: g(s) = P + s*(P-Q) = (5, -5, 22.5) + s*(1, -3, 1)
Die Aufgabe ist unklar formuliert, denn hängt der obere Punkt, der Mittelpunkt oder der untere Punkt der Kugel drei Meter tiefer? Ich gehe mal davon aus, dass der Mittelpunkt 6 Meter tiefer hängt als das Seil. Der Mittelpunkt der Kugel läuft dann entlang der Geraden
h(s) = g(s) - (0,0,6)
Jetzt sucht man einen Punkt auf der Geraden h, der zur Ebene E den Abstand 3 hat.
d(A,E) = |1*Ax + 2*Ay + 2*Az - 34|/sqrt(1² + 2² + 2²)
Punkte aus h(s) einsetzen und d(A,E) = 3:
|1*(5+s) + 2*(-5-3s) + 2*(16.5+s) - 34|/3 = 3
Lösung s = -5 und A = h(-5) = (0,10,11.5)
Jetzt noch den Lotfußpunkt von A auf der Ebene E bestimmen:
S = (-1, 8, 9.5)
Jetzt muss man noch zeigen, dass S innerhalb der Dachfläche FGHK liegt. Dazu bildet man die
Gerade KS: m(t) = (-2,6,12) + t*(-3, -6, 7.5)
und die Gerade FG: k(r) = F + r*(G-F) = (8,6,7) + r*(-10,5,0)
Schnittpunkt von m und k berechnen:
-2 -3t = 8 -10r
6 - 6t = 6 + 5r
12 + 7.5t = 7
Lösung r = 0.8, t = -2/3, Schnittpunkt B = (0,10,7)
Wegen k(0) = F und k(1) = G, liegt der Schnittpunkt B = k(0.8) zwischen F und G. Damit ist bewiesen, dass S innerhalb des Trapezes liegt.
f)
Die Gerade g(s) lautet mit einem um a versetztem Q
g(s) = (5,-5,22.5) + s*(7,-21,7+a)
In der Aufgabe e) lag der unterste Punkt der Kugel bei -9 Meter relativ zu g.
Zusätzlich sollen 1.5 Meter Abstand bleiben und das Seil wurde um 1.5 gekürzt.
Der unterste Punkt der Kugel zusätzlich diesem Abstand läuft dann entlang der Geraden
h(s) = g(s) - (0,0,9)
Die Gerade durch HK lautet
k(t) = (4,3,12) + t*(-2,1,0)
Den Schnittpunkt von h(s) und k(t) berechnen:
5+7s = 4 -2*t
-5-21s = 3+t
22.5+(7+a)s - 9 = 12
Lösung: a = -7/2 s = -3/7 t = 1
Aufgrund g(-1) = Q gilt nun mit a = -7/2
g(-1) = (5,-5,22.5) + (-1)*(7,-21,7-7/2) = (-2, 16, 19). Der Mast muss um 3.5 Meter erhöht werden.
c)
Das Dach besteht aus zwei Trapezen und zwei Dreiecken.
Die Fläche eines Dreiecks ergibt sich mithilfe des Kreuzprodukts:
|(H-F)x(H-E)|/2 = |(40, -20, 20)|/2 = 10*sqrt(6) m²
Die Fläche eines Trapezes ergibt sich mithilfe des Kreuzprodukts:
|(F-H)x(F-G)|/2 + |(K-H)x(K-G)|/2 = |(-25, -50, -50)|/2 + |(15, 30, 30)|/2 =
(75+45)/2 = 60 m²
Auch hier ist die Aufgabe schwammig formuliert. Die hintere Ecke des Hauses ist nicht angegeben. Man kann deshalb nur vermuten, dass die im Schaubild nicht sichtbaren Dachflächen identisch zu den vorderen sind. Die Gesamtfläche ist dann 2*60 + 20*sqrt(6) ~ 168.99 m²
d)
Seilbahn auf den Boden projizieren:
g(s) = P + s*(P-Q) = (5, -5) + s*(1, -3)
First auf den Boden projizieren:
h(t) = H + t*(H-K) = (4, 3) + t*(6,-3)
Schnittpunkt R von g und h berechnen:
Lösung s = -3, t = -1/3, R = (2,4)
Es gilt: h(-1) = K und h(0) = H
Wegen -1 < t < 0 liegt h(-1/3) = R zwischen den Punkten K und H. Somit ist bewiesen, dass die Seilbahn über dem Dachfirst verläuft.
###
Seilbahn: g(s) = P + s*(P-Q) = (5, -5, 22.5) + s*(1, -3, 1)
Lösung s von oben einsetzen: g(-3) = (2,4,19.5)
First: h(t) = H + t*(H-K) = (4, 3, 12) + t*(6,-3,0)
Lösung t von oben einsetzen: h(-1/3) = (2,4,12)
Somit beträgt der Abstand zwischen Seilbahn und First über dem Lotpunkt (2,4,0) 7.5 Meter.
### Alternative Lösung:
Man legt duch die Punkte H und K eine Ebene, die auf dem Boden senkrecht steht. Diese lautet E: x + 2y - 10 = 0
Gerade PQ: g(s) = (5, -5, 22.5) + s*(1, -3, 1) in die Ebene E einsetzen:
(5+s) + 2(-5-3s) - 10 = 0
Lösung s = -3, g(-3) = S = (2, 4, 19.5)
S ist der Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden PQ.
Weil sich der First auf der Höhe 12 befindet, beträgt der (senkrecht gemessene) Abstand von S zum First 19.5 - 12 = 7.5 Meter.
Der Höhenunterschied sagt noch nichts darüber aus, ob die Seilbahn über dem Dachfirst verläuft, denn die Seilbahn könnte theoretisch auch 1 km entfernt liegen, das würde am errechneten Höhenunterschied nichts ändern. Man muss noch zeigen, dass die Koordinate (2,4,12) zwischen den beiden Punkten H und K liegt (siehe oben).
Habe meine Antwort ergänzt. Siehe Erklärung nach Bestimmung des Punktes S.
Können Sie mir das Ergebnis für den Flächeninhalt des Daches in c) geben? Zur Kontrolle, ich hab was mit 300 raus
Sicher dass man es nicht doppeln muss? Weil 2 mal trapez und 2 mal dreieck
Bitte hilfe brauche die aufgabe unbedingt:((
In meiner Antwort waren die Dachflächen bereits verdoppelt. Habe die Aufgabe c) nochmals mithilfe des Kreuzproduktes berechnet und meine Antwort angepasst. Es bleibt bei ~ 168.99 m²
Okay, ich muss nochmal bei meiner Rechnung schauen, danke. Bei der e) steht das Jetzt sucht man einen Punkt auf der Geraden h, der zur Ebene E den Abstand 3 hat. Aber warum?
Aufgabe e) Der Mittelpunkt der Kugel bewegt sich auf der Geraden h(s). Sobald ein Punkt auf dieser Geraden den Abstand 3 (Radius der Kugel) zur Dachebene hat, berührt die Oberfläche der Kugel die Ebene.
Stimmt..danke! Ich werde mir deinen lösungsweg anschauen und versuchen, eszu verstehen. Hoffe es ist okay, Wenn ich fragen stelle
Gerade PQ: g(s) = P + s*(P-Q) = (5, -5, 22.5) + s*(1, -3, 1)
Ich komme beim richtungsvektor auf ganz andere Werte.
Nachtrag: vielfaches, alle gut!
Jetzt noch den Lotfußpunkt von A auf der Ebene E bestimmen:
S = (-1, 8, 9.5) (e)
Warum muss man das machen?
Diesen letzten Schritt verstehe ich nicht:
Lösung: a = -7/2 s = -3/7 t = 1
Aufgrund g(-1) = Q gilt nun mit a = -7/2
g(-1) = (5,-5,22.5) + (-1)*(7,-21,7-7/2) = (-2, 16, 19). Der Mast muss um 3.5 Meter erhöht werden.
Woher kommt dieses -1? War ja kein ergebniss
Erst sucht man einen Punkt auf der Geraden h(s), der zur Dachebene den Abstand 3 hat. Der gesuchte Berührpunkt S liegt aber nicht auf der Geraden, sondern auf der Ebene. Dazu legt man ein Lot auf die Ebene durch den Punkt A. S ist dann der Schnittpunkt des Lots mit der Ebene.
Die Gerade g(s) = (5,-5,22.5) + s*(7,-21,7+a) liefert für a = 0 und s = -1 den alten Punkt Q. Dann wurde a = -7/2 berechnet. Die neue Höhe von Q beträgt dann 22.5 - (7-7/2) = 19, während x und y gleich bleiben.
Danke. Aber was ist bei der e) jetzt dir Begründung, dass die Kugel zu tief hängt? Also welcher Teil Ihrer Erklärung
Das steht in der Antwort:
"Jetzt muss man noch zeigen, dass S innerhalb der Dachfläche FGHK liegt. In Aufgabe d) wurde bereits gezeigt, dass die Seilbahn über dem Dachfirst HK verläuft. Für den Höhenverlauf der Dachfläche gilt 7 <= z <= 12. Da Sz diese Bedingung erfüllt, liegt S innerhalb des Trapez FGHK."
Aber das habe ich in D nicht gezeigt....da habe ich nur den abstand berechnet...
d)
Um zu zeigen, dass die Seilbahn über dem Dachfirst verläuft, projiziert man die beiden Bahnen auf den Boden, d.h. z = 0. Damit ergibt sich:
Seilbahn PQ: g(s) = P + s*(P-Q) = (5, -5) + s*(1, -3)
First HK: h(t) = H + t*(H-K) = (4, 3) + t*(6,-3)
Schnittpunkt R suchen:
5 + s = 4 + 6t
-5 - 3s = 3 -3t
Lösung s = -3, t = -1/3, R = (2,4)
Es gilt: h(-1) = K und h(0) = H
Wegen -1 < -1/3 < 0 liegt h(-1/3) = R zwischen den Punkten K und H. Somit ist bewiesen, dass die Seilbahn über dem Dachfirst verläuft.
Danke. Und dann zeige ich in e) dass der punkt in der ebene liegt. Aber was macht das nun für die Begründung, dass die Kugel zu tief hängt. Aus? Kannst du das erklären
Die Dachebene E: x + 2y + 2z = 34 liegt deckungsgleich zur Dachfläche FGHK, ist aber in allen Richtungen unendlich viel grösser. Findet man auf der Seilbahn (bezüglich Mittelpunkt) einen Punkt A mit Abstand 3 zur Ebene E, und damit einen Lotpunkt S, wird man immer solche Punkte finden. Daraus folgt aber nicht, dass der Punkt S innerhalb der begrenzten Dachfläche FGHK liegt. Der Punkt S könnte auch über oder unter oder neben der Dachfläche liegen. Deshalb zeigt man, dass die Seilbahn a) über dem Dachfirst verläuft b) der Punkt S bezüglich seiner Höhe zwischen 7 und 12 Meter liegt.
Okay danke. Nun komme ich aber twas durcheinander, also wir haben jetzt den Punkt A berechnet der auf der gerade liegt und den abstand 3 zur ebene hat. Aber warum haben wir den Lotfußpunkt dann bestimmt? Was ist die Idee dahinter?
Was ist auch fie Idee hinter dem Punkt a?
Aufgabe a) Die Ebenengleichung kann man wegen des Wasserzeichens nicht erkennen. Lösungsweg. x1 = Ex = 4, x2 = Ey = -2 in E einsetzen, daraus ergibt sich x3 = z (die Höhe von A).
Zum Lotfusspunkt: Lege ein Blatt Papier schief - als Symbol für Dachfläche. Bewege einen Ball - als Symbol für die Gaskugel mit Radius 3 - seitlich darauf zu. Sobald der Mittelpunkt des Balls einen Abstand von 3 zum Papier hat, wird die Oberfläche des Balls das Papier berühren. Um den Berührpunkt zu finden, fällt man ein Lot vom Mittelpunkt des Balls zum Papier. Der Lotfusspunkt ist dann der Berührpunkt zwischen Ball und der Ebene.
Ich muss jetzt erst mal Schluss machen (Family-Time).
Danke. Jetzt verstehe ich. Wenn du das noch liest: kannst du mir einen Satz aufschreiben, mit dem ich begründe, dass die Kugel zu tief liegt?
Nachdem der Berührpunkt S soviel Fragen aufwirft, habe ich den Beweis verändert und meine Antwort angepasst (siehe nachfolgend "Jetzt muss man noch zeigen, dass S innerhalb der Dachfläche FGHK liegt.").
Warum die Kugel zu tief hängt, lässt sich mit einem Satz nicht sagen. Dazu sind die unter e) aufgeführten Berechnungen nötig. Falls es einfacher geht, lass es mich wissen. Ich würde es so ausdrücken:
In Aufgabe e) wird der Berührpunkt S der Kugel mit der Dachfläche berechnet. Dieser ergibt sich zu S = (-1, 8, 9.5). S ist ein Punkt der allgemeinen Dachebene x + 2y + 2z = 34, denn S erfüllt diese Gleichung.
Zusätzlich wurde gezeigt, dass S auch innerhalb der Trapezfläche FGHK liegt. Somit stösst die Kugeloberfläche beim Transport von Q nach P am Punkt S gegen das Dach.
Mit Lehrern stehe ich auf Kriegsfuß. Nur Ausnahmen bestätigen meinen schlechten Eindruck von dieser Berufsgruppe.
Hallo. Meine Rückmeldung die ich bekommen habe:
bei d) geht es nicht um den Abstand windschiefer Geraden, sondern um den senkrechten (lotrechten) Abstand => Hilfsebene durch die Gerade PQ und mit zweitem Spannvektor (0/0/1), diese Ebene mit der Dachfirst-Geraden schneiden, dann Abstand von dort aus senkrecht nach oben
Außerdem eine Kleinigkeit bei der e): theoretisch müsstest du beim Abstand +3 und -3 bedenken, weil man in der Formel ja den Betrag stehen hat - du hast aber den richtigen Wert herausbekommen
Wie mache ich das also richtig. Die e und die d?
Ganz sicher geht es bei d) um den Abstand windschiefer Geraden, denn der Dachfirst und der Verlauf der Seilbahn sind windschiefe Geraden. Auch das Verfahren, das Du beschreibst ist, dient zur Bestimmung des kleinsten Abstands windschiefer Geraden. Mein Kommentar bezüglich d) hat aber mit dem Abstand nichts zu tun, sondern ist nur eine Begründung, warum die Seilbahn über dem Dachfirst verläuft. Danach hast Du explizit gefragt. Diese Begründung ist zusätzlich nötig, denn die Berechnung des kleinsten Abstands der beiden Geraden sagt nichts darüber aus, ob der entsprechende Bezugspunkt auf dem Dachfirst liegt oder außerhalb davon. Was die zweite Lösung für den Abstand |3| bei e) angeht, habe ich meine Antwort ergänzt.
Danke. Kannst du mithilfe der hilfsebene den abstand berechnen? Ich habe als Lösung 9,xy raus..
Kannst du es aber auch über die hilfsebene, die mir die Lehrerin empfohlen hat, rechnen?
Weil es ist komisch wenn ich dann einen anderen Weg präsentiere..;)
Danke. Kannst du bei meiner neuen frage vorbeischauen?
Hallo! Kannst du mir eventuell kurz beschreiben, wa sund warum du das bei f gemacht hast? Z.b. haben wir den Schnittpunkt von der Gerade durch HK und einer weiteren berechnet. Warum?
Was bei Euch berechnet wurde, müsste ich erst sehen. Aber meine Lösung geht doch denselben Weg. Der Schnittpunkt der Geraden h(s) und k(t) wird berechnet. k(t) ist die Gerde durch HK.
Aber warum? Das Seil wird um 1,5 m gekürzt. Und die Kugel soll 1,5 m über dem Dach fliegen. Das wird da garnicht berücksichtigt.
Das wird in meiner Antwort erklärt:
"In der Aufgabe e) lag der unterste Punkt der Kugel bei -9 Meter relativ zu g. Zusätzlich sollen 1.5 Meter Abstand bleiben und das Seil wurde um 1.5 gekürzt. Der unterste Punkt der Kugel zusätzlich diesem Abstand läuft dann entlang der Geraden h(s) = g(s) - (0,0,9)"
Danke. Und bei der e). Was ist da die Begründung dass die Kugel zu tief hängt?