Wie kann ich x und y herausfinden?

Für welche ganzen Zahlen x, y gilt diese Aussage?

$\left(3-4\sqrt{2}\right)^2=x+y\sqrt{2}$

x = ?

y = ?

Bitte nicht die Lösung sagen. Ich möchte nur wissen, wie man hier bitte anfängt. Wie kommt bitte am ende eine ganze Zahl für x und y raus?

Answer 1

[Rubezahl2000]

Linke Seite ausmultiplizieren mit der 2. Binomischen Formel, dann lautet die Gleichung:

9 - 24√2 + 32 = x + y√2

41 - 24√2 = x + y√2

Eine Lösung mit ganzen Zahlen ist also: x=41 und y=-24

Comments

[poscher]

Wie kommt man zu dem Schluss, dass x = 41 und y = -24 ?

[Rubezahl2000]

@poscher

Die rechte Seite der Gleichung ist genau gleich der linken Seite der Gleichung, wenn x=41 und y=-24

[ProfFrink]

@poscher

Durch den so genannten Koeffizientenvergleich. Welcher Faktor ist mit Wurzel(2) verknüpft und welcher Summand steht alleine da.

Answer 2

[aperfect10]

Diese Gleichung lässt sich so umstellen:

$41 - x = (24+y)\cdot\sqrt{2}$

Für ein ganzzahliges x ist die linke Seite immer ganzzahlig.

Die rechte Seite ist hingegen ein Produkt einer ganzen Zahl, nämlich

$24 + y$ und $\sqrt{2},$ also nie ganzzahlig, außer für y = -24, dann hat sie den Wert 0.

Daraus folgt dass für jede Lösung gilt: y = -24.

Daraus folgt

$41-x = 0 \implies x = 41.$ Also ist (41, -24) die einzige ganzzahlige Lösung dieser Gleichung.

Answer 3

[Halbrecht]

Ganze Zahl : Zahl aus Z 

Entweder ich übersehe etwas Gravierendes oder es reicht vollkommen aus , die linke Seite auszumultiplizieren und die Summanden ohne Wurzel zusammenzufassen.