Wie löse ich folgendes Gleichungssystem in einem Körper Z11?

2a + b + 2c = 2

4a + b + 2c = 4

0a + b + 3c = 5

Ich kann dieses Gleichungssystem beispielsweise in R lösen und die Lösungen mit mod 11 in Z11 überführen (dort sind die ganzen Zahlen 0,1,2,3,4,5,6.....,10 enthalten). Dort würde dann 1,1,5 rauskommen. Aber damit kriege ich halt nicht alle Lösungen. Ich würde mich sehr über eine Lösung freuen. Denke mal, dass man, dass als Vektor angeben kann (vielleicht mit 1,1,5 als Stützvektor)? LG

Answer 1

[LUKEars]

nach den Restklassen-Rechenregeln könntest du auch das da also Lösung nehmen:

$1+k\cdot 11\ ,\ 1+l\cdot 11\ ,\ 5+m\cdot 11\ \ \mathsf{mit}\ k,l,m\in\mathbb{Z}$

oder?

aber ob das dann wirklich alle Lösungen sind, weiß ich nicht...

WolframAlpha sagt ja: https://www.wolframalpha.com/input?i=%7B%282a%2Bb%2B2c%29+mod+11%3D2+%3B+%284a%2Bb%2B2c%29mod+11%3D4+%3B+%28b%2B3c%29mod+11%3D5%7D

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[eterneladam]

Sowohl in R also auch in Z modulo 11 gibt es genau eine Lösung, da die Determinante der beschreibenden Matrix gleich -2, also sowohl in R als auch Z/11 ungleich Null ist. Diese Lösung hast du gefunden. Wie LUKEars geschrieben hat, kannst du auch andere Repräsentanten mod 11 wählen.

Answer 3

[RitterToby08]

Wende den Gauß-Algorithmus an. Dieser funktioniert in jedem Körper.