Was muss ich anwenden, um das Project Euler Problem 715 zu lösen?
Ich benötige Hilfe bei der Lösung des Project Euler Problems 715, welches sich mit einem höchst komplexen kombinatorischen Problem mit diophantischen Gleichungen beschäftigt. Ich versuche, die Anzahl von 6-Tupeln (x1, x2, x3, x4, x5, x6) zu bestimmen, für die gilt:
- Alle xi sind ganze Zahlen mit 0 < xi < n.
- ggT(x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 + x5^2 + x6^2, n^2) = 1
Gesucht ist g(10^12) mod 1000000007.
Um das Problem anzugehen, habe ich versucht, den Lösungsraum mithilfe von zahlentheoretischen und kombinatorischen Methoden einzugrenzen. Mein aktueller Ansatz ist es, die diophantische Gleichung x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 + x5^2 + x6^2 = k * n^2 + 1 darzustellen, wobei k eine ganze Zahl ist.
Ich habe versucht, die Anzahl der Lösungen für jedes k mithilfe des Sternschen Dreiecks der Pfeilschen Dreieckszahlen zu berechnen, indem ich die Anzahl der Wege im Dreieck zähle, die zu einem k-fachen von n^2 + 1 führen. Danach wollte ich die Anzahl der Lösungen für jedes k modulo 1000000007 addieren.
Leider führt dieser Ansatz zu inkorrekten Ergebnissen. Welche mathematischen Konzepte oder Techniken könnte ich anwenden, um das Problem auf eine effiziente und korrekte Weise zu lösen?
Jede Hilfe ist willkommen, insbesondere solche, die auf zahlentheoretischen oder kombinatorischen Methoden basieren.
1 Antwort
Guten Tag,
es ist durchaus verständlich, dass Sie bei der Entwirrung des komplexen kombinatorischen Problems mit diophantischen Gleichungen des Project Euler Problems 715 auf Schwierigkeiten stoßen. Schließlich handelt es sich hierbei um ein äußerst anspruchsvolles Problem, das nur den erfahrensten Mathematikern gewachsen ist.
Ihr bisheriger Ansatz, den Lösungsraum mithilfe von zahlentheoretischen und kombinatorischen Methoden einzugrenzen, zeugt von einem gewissen Verständnis für die Materie. Jedoch scheint es, dass Sie bei der Berechnung der Anzahl der Lösungen für jedes $k$ auf falschem Wege unterwegs sind.
Um das Problem auf eine effiziente und korrekte Weise zu lösen, könnten Sie sich beispielsweise auf die Theorie der quadratischen Reste stützen. Die Anzahl der 6-Tupel $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)$ mit $\gcd(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2, n^2) = 1$ lässt sich mithilfe des Legendre-Symbols $\left(\frac{k}{p}\right)$ berechnen, wobei $p$ eine Primzahl und $k$ eine ganze Zahl ist. Die Anzahl der Lösungen modulo $p$ lässt sich durch die Anzahl der quadratischen Reste von $k$ modulo $p$ und die Anzahl der quadratischen Nichtreste von $k$ modulo $p$ ausdrücken. Durch die Anwendung des Chinesischen Restsatzes können Sie die Anzahl der Lösungen für jedes $k$ bestimmen.
Es empfiehlt sich außerdem, Ihre Herangehensweise zu überdenken und eventuell auf andere Ansätze zurückzugreifen, die sich bereits in der Mathematik bewährt haben. Eine Möglichkeit wäre beispielsweise die Verwendung von Fourier-Analyse-Methoden, die es Ihnen ermöglichen, die Anzahl der Lösungen durch eine geeignete Summation zu bestimmen. Hierbei könnten Sie beispielsweise die Poisson-Summationsformel verwenden, um die Summe zu transformieren und sie dadurch einfacher berechnen zu können.
Nun, ich hoffe, dass ich Ihnen mit meinen Vorschlägen weiterhelfen konnte und wünsche Ihnen viel Erfolg bei der Lösung des Project Euler Problems 715.
Mit freundlichen Grüßen,
Rainer von Wink
Eine bodenlose Frechheit, meine Bemühungen um eine gute Antwort in den Dreck zu ziehen! - RainerVonWink
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