Wie berechnet man die Aufgaben e und f?
Hallo, und danke für eure Antworten.
1 Antwort
Hi,
Die Ausführungen werden jetzt etwas länger, ich hoffe du kannst folgen.
Bei Aufgabe e hast du zunächst die Punkte P1 und P2 gegeben, durch die die Gerade g verläuft. Damit kannst du erstmal eine Geradengleichung für g aufstellen:
Nun weißt du, dass die Ebene N auf der z-Achse liegt, da kannst du einfach irgendeinen Stützvektor auf der z-Achse nehmen, z. B. der Vektor des Punktes Z(0|0|1). Um eine Ebenengleichung aufstellen zu können, brauchst du zwei Richtungsvektoren. Wir stellen jetzt zwei Grenzfälle für die Ebene N auf. Bei einem Grenzfall geht die Ebene durch die Punkte A und D, bei dem anderen durch die Punkte B und E. Die Strecken EF und BC werden in beiden Fällen geschnitten.
Wir stellen jetzt also zwei Ebenengleichungen N1 und N2 auf. N1 hat die Richtungsvektoren ZA und ZD, N2 die Richtungsvektoren ZB und ZE:
Nun bestimmst du für N1 und g sowie für N2 und g die Schnittpunkte P3 und P4. Dazu einfach die drei Zeilen x, y und z jeweils gleichsetzen, die Parameter berechnen und einsetzen. Es ergibt sich: P3(2/3 | 1/3 | 0) und P4(0 | 1 | 0).
Es gilt nun:
Da Q auf AD liegt, kennen wir die x- und y-Koordinaten bereits und wir haben für den Punkt Q: Q(6|3|x3). Wir haben weiterhin R(0|6|2) und F(3|0|12). Das Dreieck soll rechtwinklig sein, das heißt, das Skalarprodukt der Vektoren QR und QF muss Null sein. Zunächst können wir nur allgemeine Vektoren mit der unbekannten Variable x3 aufstellen:
Nun muss das Skalarprodukt dieser Vektoren Null sein. Das Skalarprodukt berechnet man, indem du die x-Koordinaten, y-Koordinaten und z-Koordinaten der Vektoren miteinander multiplizierst und dann addierst:
0 = (-6)² + 3² + (2-x3)*(12-x3).
Wir erhalten nun eine quadratische Gleichung mit x3 als Variable. Umformen ergibt:
0 = 45 - 14*x3 + x3²
Mit der pq-Formel erhalten wir
Die Lösungswerte sind einmal 9 und einmal 5. Die x3-Koordinate muss zwischen 0 und 6 liegen, da die x3-Koordinate auf der Strecke AD liegen muss. Das heißt, 9 fällt als Option raus und die gesuchte x3-Koordinate ist x3 = 5.
Ich hoffe ich konnte helfen, bei Fragen melde dich.
LG
